Высшая математика

11

1.4.3 Замечание – Если λ есть корень кратности t уравнения (17), то ранг системы (16) равен k − t , а размерность пространства решений этой системы равна k − (k − t ) = t . Таким образом, корень λ кратности t поро-

ждает t линейно независимых собственных векторов, за которые обычно принимают фундаментальную систему решений системы (16).

1.5 Упражнения

1.5.1 Ниже определены преобразования линейного пространства E3 .

Выяснить, являются ли они линейными. В случае положительного ответа – найти матрицы линейных преобразований в стандартном базисе:

1)A* x = (2x1 − x3 ; x3 ; x1 − x2 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .

2)A* x = (x1 x2 ; x2 x3 ; x1 x3 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .

3)A* x = (x1 − x2 + x3 ; x3 − x1; x2 − 4x3 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .

4)A* x = (x,a )a , где a – фиксированный вектор, x – произвольный

вектор, (x,a ) скалярное произведение.

а) a = 3i + 4 j + 5k ; б) a = i + j − k ;

в) a = 7i − 6 j + 2k .

1.5.2 Дана матрица A некоторого линейного преобразования в базисе {e1 ,e2 } . Найти матрицу этого преобразования в базисе {e1′,e2′ } .

1.5.3 Дана матрица A некоторого линейного преобразования в базисе {e1 ,e2 ,e3} . Найти матрицу этого преобразования в базисе {e1′,e2′ ,e3′} .

12

1.5.4 Найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:

1.6 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 6, § 1; гл. 7, § 1; 2, гл. 3, § 3.1–3.11; 3, гл. 1, § 1.6–1.10, 1.16].

1.6.1 Ниже определены преобразования линейного пространства E3 .

Выяснить, являются ли они линейными. В случае положительного ответа найти матрицы этих линейных преобразований в стандартном базисе;

1)A* x = (a1 + a2 ;a2 + a3 ;a3 + a1 ) для любого вектора x = (a1;a2 ;a3 ).

2)A* x = (x × a ), где x – произвольный вектор, a – фиксированный

вектор:

а) a = i − 3 j − k ;

1.6.3 Найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:

2 Квадратичные формы

Цель занятия: выработка навыков приведения матрицы к диагональному виду и навыков приведения квадратичной формы к каноническому виду.

2.1 Преобразование матрицы линейного оператора

С помощью подходящего выбора базиса можно упростить матрицу линейного преобразования A* . В частности, имеет место теорема.

2.1.1 Теорема. Для того, чтобы матрица A линейного преобразования A* линейного пространства Ek была диагональной в некотором бази-

се, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов матрицы A . Более того, тогда диагональные элементы матрицы A будут собственными значениями этой матрицы.

Теорема не утверждает, что для всякого линейного преобразования существует базис, в котором матрица преобразования будет диагональной. Только отдельные матрицы (преобразования) обладают этим свойством, и среди них отметим симметрические матрицы. Из теоремы вытекает алгоритм.

2.1.2 Процедура диагонализации матрицы.

1 Находим собственные значения и собственные векторы матрицы A . 2 Строим матрицу T перехода от исходного базиса к базису из соб-

ственных векторов матрицы A .

16

Произведение строки xT и столбца Ax даёт Φ (x1 , x2 , x3 ) :

Φ(x1 , x2 , x3 ) = xT A x = 4x12 + x22 − 2x1 x2 + x1 x3 − 3x32 .

2.2.3Пример. Записать квадратичную форму, соответствующую

матрице

Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = xT A x = x12 + 2x22 − 2x32 + 5x42 − 2x1 x3 + 6x2 x4 + 8x3 x4 .

2.3 Канонический вид квадратичной формы

2.3.1 Определение. Говорят, что квадратичная форма (21) имеет канонический вид, если aij = 0 для i ≠ j , (i, j = 1,k ), т. е.

Φ (x1 , x2 ,…xk ) = a11 x12 + a22 x22 + …+ akk xk 2 .

Очевидно, что матрица квадратичной формы, находящейся в каноническом виде, является диагональной:

Имеет место следующий основной результат.

2.3.2 Теорема. Любая квадратичная форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) в пространстве Ek имеет канонический вид в базисе из собственных векторов матрицы A этой квадратичной формы:

собственных векторов матрицы A .

17

2.3.3 Пример. Построить канонический вид квадратичной формы

Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + 3x22 + x32 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 .

Решение

Матрица данной квадратичной формы имеет вид:

Вычисляем собственные значения матрицы A : λ1 = 1, λ2 = 2 , λ3 = 12 .

В соответствии с теоремой канонический вид нашей квадратичной формы следующий:

Φ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 + 12 y32 .

2.3.4Пример. Построить канонический вид квадратичной формы

Φ(x1 , x2 ) = 17x12 + 12x1 x2 + 8x22 .

Указать линейное преобразование, приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду.

Решение

Записываем матрицу данной квадратичной формы:

Считаем, что матрица A и квадратичная форма Φ (x1 , x2 ) заданы в базисе {e1 ,e2 } . Решаем характеристическое уравнение

Нормированный (т. е. единичной длины) собственный вектор равен

20

−1 0 1

3 = 0 −2 1 = −6 + 2 + 1 = −3 < 0 .

1 1 −3

Значит, Φ (x1 , x2 , x3 ) является отрицательно определённой квадратичной формой.

2.5 Упражнения

2.5.1Записать матрицу для квадратичной формы:

1) x12 + 2x1 x2 + 2x22 + 4x2 x3 + 5x32 ;

2) x12 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 + x22 + 2x2 x3 − 4x2 x4 + x32 − 2x42 .

2.5.2Записать квадратичную форму по заданной матрице:

2.5.3 Построить канонический вид следующих квадратичных форм и указать линейные преобразования, приводящие данные квадратичные формы к каноническому виду:

1)Φ (x1 , x2 ) = 2x1 x2 ;

2)Φ (x1 , x2 ) = x12 − 2x1 x2 + 4x22 ;

3)Φ (x1 , x2 ) = x12 + 16x1 x2 + 56x22 ;

4)Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + 2x22 − 5x32 + 2x1 x2 ;

5) Φ (x1 , x2 , x3 ) = x12 + 5x22 − x32 + 6x1 x2 + 4x2 x3 ; 6) Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + x22 − 4x1 x2 − 4x2 x3 ;

7) Φ (x1 , x2 , x3 ) = − x12 − 2x22 − 3x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 ;

8) Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 x2 + 2x3 x4 ; 9) Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x4 + x2 x3 .

2.5.4 Определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:

1)x12 + 26x22 + 10x1 x2 ;

2)− x12 + 2x1 x2 − 4x22 ;

3)x12 − 15x22 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 6x2 x3 ;

4)x12 + 4x22 + 4x32 + 8x42 + 8x2 x4 .