4. МногочленыЖегалкина

Согласно сформулированным утверждениям, можно говорить, что система булевых функций полна. Тогда любую булеву функцию можно представить в виде многочлена от своих переменных и такой многочлен называется многочленом Жегалкина.

Многочленом Жегалкина называется многочлен, являющийся суммой константы и различных одночленов, в которые каждая из переменных входит не выше, чем в первой степени.

Многочлен Жегалкина константы равен самой же константе; многочлен Жегалкина булевой функции одной переменной многочлен Жегалкина булевой функции двух переменных

Многочлен Жегалкина булевой функции трех переменных

и т. д. Коэффициенты и свободный член принимают значения 0 или 1 , а число слагаемых в формуле равно , где n- число переменных. Знак - сумма Жегалкина или сумма по модулю два.

Теорема 3(Жегалкина): Каждая булева функция может быть представлена в виде многочлена Жегалкина и притом единственным образом, с точностью до порядка слагаемых.

Сформулируем алгоритм построения многочлена Жегалкина. Выше былоуказано, что любую функцию, отличную от константы 0, можно представить в виде СДНФ. Если сравним таблицы истинности дизъюнкции и суммы по модулю два, видим, что они отличаются только последней строкой, т.е. на наборе 11. Так как в СДНФ на каждом наборе только одна конъюнкция равна 1, то все дизъюнкции можно заменить суммами по модулю два. Кроме того, известно, что . На этом и основан первый алгоритм построения многочлена Жегалкина:

1. Находим множество тех двоичных наборов, на которых функция принимает значение 1.

2. Составляем СДНФ.

3. В СДНФ каждый знак дизъюнкции меняем на знак суммы Жегалкина.

4. Упрощаем, если можно, полученное выражение, используя тождество .

5. В полученной формуле каждое отрицание заменяем на

6. Раскрываем скобки в полученной формуле, содержащей только функции и и константу 1.

7. Приводим подобные члены, используя тождество

Используя метод неопределенных коэффициентов, получаем второй алгоритм определения многочлена Жегалкина:

1. Составляем систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, содержащих уравнений, решением которой является коэффициенты многочлена Жегалкина.

Многочлен Жегалкина называется нелинейным, если он содержит конъюнкции переменных, а если он не содержит конъюнкции переменных, то он называется линейным.

Функция называется линейной, если ее многочлен Жегалкина имеет вид , и нелинейной в противном случае.

Из определения многочлена Жегалкина следует, что для любой булевой функции коэффициенты при переменных и свободный член вычисляются по формулам:

…

На этом основан алгоритм определения линейности(или нелинейности) булевой функции.

1. По таблицам истинности булевой функции и выше указанным формулам находим коэффициенты: ( ).

2. Выписываем многочлен и проверяем, задает ли он эту функцию. Для этого строим таблицу истинности многочлена и сравниваем ее с таблицей истинности функции .

Если таблицы истинности совпадают, то функция линейная и – ее многочлен Жегалкина. В противном случае функция нелинейная.