3.4. Оценка истинного значения измеряемой величины при независимых неравноточных измерениях.

Пусть имеется ряд неравноточных измерений: x₁,x₂,…,x_n с известными дисперсиями ²₁, ²₂,…, ²_n.

Следует определить наилучшую по статистическим свойствам оценку измеряемой величины. Будем, как и в случае равноточных измерений, находить среднее арифметическое результатов измерений

x=c₁*x₁+c₂*x₂+….+c_n*x_n, (3.45.)

Полагая также, как и при равноточных измерениях, измеряемую величину определяемым параметром, запишем условия несмещенности

Mx₁=Mx

Mx₂=Mx , (3.46.)

……..

Mx_n=Mx,

где Mx₁, Mx₂,…, Mx_n – математические ожидания измерений;

Mx – математическое ожидание оценки параметра.

Для поиска несмещенной и эффективной оценки параметра запишем соответствующие условия;

а) эффективности – минимума дисперсии оцениваемой величины

Dx=c₁²*²+ c₂²*²+….+ c_n²*²= min, (3.47.)

б) несмещенности –

c₁+c₂+…+c_n = 1, (3.48.)

выводимые также, как и в случае равноточных измерений.

Тогда минимизируемый функционал Лагранжа будет иметь вид

Ф=c₁²₁²+c₂²₂²+….+c_n²_n²+2(c₁+c₂+…+c_n-1), (3.49.)

Для получения множителей c₁,c₂,…,c_n найдем следующие частные производные, прировняв их к нулю

, (3.50.)

... ... ...

из этих уравнений найдем

, (3.51.)

Для определения  воспользуемся условием несмещенности. Тогда

,(3.52.)

или

, (3.53.)

следовательно

=-1/[1/ ²], (3.54.)

С учетом  находятся множители c_i и подставляются в исходное выражение линейной комбинации измерений. Тогда

, (3.55.)

Величину 1/ _i² называют весом измерения и обозначают через p_i. С учетом этого

, (3.56.)

Эту величину называют общей арифметической средней или средним весовым. Она является наиболее точным значением в ряде неравноточных измерений.

Найдем теперь ее дисперсию.

Для этого, на основании (3.47.) с учетом (3.51.) и (3.53.), запишем

,(3.57.)

После несложных преобразований

, (3.58.)

Понятие веса удобно для следующих случаев математической обработки геодезических измерений:

1. Если имеется измерение с весом p1= 1/₁² и измерение с весом p₂=1/ ₂², то отношение весов будет

p₁/p₂= ₂²/₁², (3.59.)

2. Если имеется измерение x с весом p, то вес функции

, (3.60.)

равен единице.

Действительно

, (3.61.)

или

, (3.62.)

но поскольку p=1/m_x², то m_y²=p*m_x²=1,

и следовательно p_y=1/m_y²=1.

3.5. Вес функции измеренных величин

Для функции

y=f(x₁,x₂,…,x_n), (3.91.)

в соответствии с (1.41.) при замене стандарта на средние квадратические ошибки будет

,(3.92.)

Поскольку вес и средняя квадратическая ошибка связаны соотношением

p=1/m, (3.93.)

то полагая m=1/p, запишем

,(3.94.)

где p₁,p₂,…,p_n – веса измерений x₁,x₂,…,x_n.

Из этой формулы находится вес функции некоррелированных аргументов.

Если же аргументы коррелированы, то вес функции найдется из выражения

, (3.95.)

где r_ij – коэффициент корреляции между величинами x_i и x_j.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса

Это значит, если в ряде неравноточных измерений их значения умножить на веса, то в результате получится ряд равноточных измерений, т. е. их веса будут одинаковы и равны единице.

Это обстоятельство используется для оценки точности общей арифметической средины.

Если записать ряд чисел то это уже будет ряд равноточных измерений.

И если, например, имеется истинное значение X измеренной величины, то вычисляя истинные ошибки

,(3.63.)

можно вычислить среднюю квадратическую ошибку измерения, вес которого равен единице или среднюю квадратическую ошибку единицы веса

, (3.64.)

В том случае, когда истинные ошибки неизвестны, среднюю квадратическую ошибку измерения, вес которого равен единице, вычисляют по поправкам, найденным по формуле

V_i=x-x_i, (3.65.)

где V_i – поправка;

x_i – результат измерения (i=1,2,…,n);

x – среднее весовое.

Если выражение (3.65.) умножить на корень из p_i, то

, (3.66.)

где второе слагаемое имеет вес, равный единице, а первое является его наилучшей оценкой.

Действительно

, (3.67.)

, (3.68.)

Тогда следуя теории обработки ряда равноточных измерений можно записать

, (3.69.)

или

, (3.70.)

Теперь зная  найдем среднюю квадратическую ошибку среднего весового.

Поскольку

, (3.71.)

где p_x – вес среднего весового,

то

, (3.72.)

Оценка стандарта окончательного значения будет

, (3.73.)

При данных предположениях величина  должна равняться единице или быть близкой к ней. Если же веса измерений вычисляются по формуле

p=k²/², (3.74.)

то средняя квадратическая ошибка единицы веса, вычисленная по поправкам, должна удовлетворять следующему равенству

² =k², (3.75.)

и соответствовать средней квадратической ошибке того измерения, вес которого равен единице, т. е.

p=k²/²=1, (3.76.)

Рациональная схема вычисления среднего арифметического и среднего весового. Замечания по математической обработке ряда зависимых неравноточных измерений

17. Оценка стандарта измерения по невязкам полигонов и разностям двойных измерений

В соответствии с этим необходимо упомянуть, что для современных вычислительных машин вопрос выбора схемы вычисления среднего арифметического не является актуальным. Однако он приобретает актуальность при вычислениях вручную, что часто имеет место на практике.

Пусть имеется ряд измерений одной и той же величины х: х₁, х₂,….., х_n. Их среднее арифметическое равно

, (3.25.)

Если же среди всех значений выбрать наименьшее, или любое значение x0, не превосходящее всех, то можно записать

x₁-x₀=₁

x₂-x₀=₂ , (3.26.)

……..

x_n-x₀=_n

или

x₁=x₀+₁

x₂=x₀+_, (3.27.)

……….

x_n=x₀+_n

На этом основании среднее арифметическое будет

, (3.28.)

Поскольку  - малые величины, то ими удобнее оперировать, чем полными значениями x_i.

При вычисления осуществляется контроль по поправкам. Если найти ряд поправок

V₁=x-x₁

V₂=x-x₂, (3.29.)

……….

V_n=x-x_n

и сложить их, то получим

[V]=n*x-[x], (3.30.)

Следуя выражения среднего арифметического заключаем, что

[V]=0, (3.31.)

Это является первым контролем вычислений. В том случае если х вычислялось с ошибкой округления w, то вместо (3.31.) будет

[V]=n*w, (3.32.)

Второй контроль осуществляется при вычислении суммы квадратов поправок.

Можно записать, что

,(3.33.)

но поскольку =x-х₀, то

[V²]=-[V*]+(x-x₀)*[V], (3.34.)

СРЕДНЕЕ ВЕСОВОГО.

Здесь как и в случае равноточных измерений среди всех результатов измерений х: х₁, х₂,….., х_n. можно записать

x₁-x₀=₁

при i=1.2. n.

Тогда очевидно, что

Первый контроль вычислений .

Действительно если записать

Где поправка измерения с номеромi,

и умножить это выражение на p то будем иметь

Суммируя эти выражения при всех i получим

.

Поскольку

То

Если же допущена ошибка округления w в то

Второй контроль вычислений

.

Действительно

Но поскольку то

Замечания по математической обработке неравноточных коррелированных измерений.

Пусть имеется ряд коррелированных между собой измерений х х х также как и при обработке независимых измерений. Будем находить достаточную, состоятельную, несмещенную и эффективную оценку х измерямой величины.

Достаточную оценку будем находить в виде линейной комбинации результатов измерений

x=c₁*x₁+c₂*x₂+….+c_n*x_n

где с постоянные множители.

Дисперсия настоящей оценки

Где к корреляционные моменты моменты величин х

Условие несмещенности как и в случае независимых измерений запишется

c₁+c₂+…+c_n = 1

Минимизируемый функционал Лагранжа будет

Дальнейшее решение будем вести в матричном виде.

Обозначим

- корреляционная матрица измерений.

Тогда можно записать

И функционал Лагранжа

Производная его по вектору С^Т будет

Из этого равенства найдем

Подставляя я вектор С в условие несмещенности получим

И соответсвенно по полученному λ вычисляется вектор С и оценка дисперсии. Дисперсия будет

Оценка стандарта измерения по невязкам полигонов и разностям двойных измерений

На практике точность измерений часто определяется по невязкам замкнутых и разомкнутых полигонов. Так, точность угловых измерений можно определить по невязкам треугольников триангуляции и полигонов теодолитных и тахеометрических ходов. Точность нивелирования также можно определить по невязкам полигонов.

Каждая невязка является функцией равноточных или неравноточных измерений. Чаще в геодезических сетях встречаются равноточные измерения.

Невязка является истинной ошибкой определенной функции. Такой функцией в замкнутом угловом полигоне является сумма измеренных углов полигона. Истинное значение такой суммы есть величина 180⁰*(n-2), где n – число углов в полигоне. Истинное значение суммы превышений в замкнутом нивелирном ходе равно нулю и т.д.

Пусть у нас имеется n полигонов. Обозначим функции измеренных величин соответственно

₁(x₁,x₂,…,x_n)

₂(x_n+1,x_n+2,…,x_n+m), (3.96.)

………….

Эти функции независимы, так как не содержат общих измерений. Их истинные значения обозначим Ф₁, Ф₂, ….

Тогда истинные ошибки этих функций или невязки будут

W1= ₁(x₁,x₂,…,x_n)-Ф₁

W2= ₂(x_n+1,x_n+2,…,x_n+m)-Ф₂, (3.97.)

…………..

Поскольку в каждой из функций участвует различное количество измерений, то они будут неравноточными величинами, каждая со своей средней квадратической ошибкой. Среднюю квадратическую ошибку одного измерения обозначим через , а вес каждой функции

p_i= ²/m_i², (3.98.)

где m_i средняя квадратическая ошибка функции с номером i.

Легко увидеть, что p_i будет равно единице, если вместо m_i² в знаменателе будет ². Тогда можно заключить, что  является и средней квадратической ошибкой измерения, вес которого равен единице. В данном случае получается, что средняя квадратическая ошибка одного измерения соответствует средней квадратической ошибке единицы веса, и вес этого измерения принят за единицу.

Тогда среднюю квадратическую ошибку единицы веса по истинным ошибкам неравноточных измерений (невязкам) найдем по следующей формуле

, (3.99.)

где N – число невязок.

Это будет в свою очередь средняя квадратическая ошибка одного измерения.

Найдем теперь веса для наиболее распространенных функций.

1. Сумма углов.

y=₁+ ₂+…+_n, (3.100.)

Очевидно, что

, (3.101.)

авноточными, запишем

m₁²= m₂²=…= m_n²=m², (3.102.)

тогда

m_y²= n*m², (3.103.)

В качестве ² примем m², тогда

m_y²= n*², (3.104.)

Для определения веса данной функции запишем соотношение весов

p_y/1=²/ m_y², (3.105.)

тогда

p_y=²/ m_y²=1/n, (3.106.)

Соответственно веса сумм углов полигонов будут 1/n₁, 1/n₂, …, 1/n_N, а средняя квадратическая ошибка единицы веса (одного угла) будет

, (3.107.)

Если в качестве полигонов рассматриваются треугольники, то n=3 и

, (3.108.)

1. Сумма превышений по каждому километру длины хода.

y=h₁+h₂+…+h_L, (3.109.)

где L – длина хода в километрах.

Очевидно по аналогии с угловыми полигонами

m_y²= L*m_h², (3.110.)

где m_h – средняя квадратическая ошибка превышения на один километр хода.

Если это превышение принять за единицу веса, то вес нивелирного полигона будет

p_y=1/L, (3.111.)

Имея N полигонов с длинами ходов L₁,L₂,…,L_n найдем среднюю квадратическую ошибку превышения на один километр хода

, (3.112.)

В качестве единицы веса можно взять вес превышения на одной станции. Тогда вес суммы превышений из п станций будет равен и формула примет вид

(87)

Если на 1 км хода приходится k станций, то

(88)

Разность двойных измерений также можно рассматривать как невязку.

Тогда имея n таких невязок

d₁=x₁-x₁’

d₂=x₂-x₂’ , (3.113.)

………….

d_n=x_n-x_n’

можно найти среднее квадратическое значение этой разности

, (3.114.)

Поскольку каждая такая невязка составлена из двух измерений, то средняя квадратическая ошибка одного измерения будет

, (3.115.)

Формула (45) справедлива для случая, когда в разностях нет систематических ошибок.

При наличии систематических ошибок вычисляют систематическую ошибку Θ по формуле среднего арифметического

(46)

Затем из каждой разности исключают систематическую ошибку по формуле

(47)

Величину можно рассматривать как поправку, но с другим знаком. Заменяя в (38) v на , получим,

Учитывая, что , окончательно будем иметь

(48)

Контроль:

[] = 0, (49)

[²] = [d]. (50)

Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (45), если выполняется условие

|[d]|≤0,25 [|d|]. (51)

15. Определение средней квадратической ошибки единицы веса по разностям двойных неравноточных измерений.

Пусть при двойном измерении n величин получены результаты

l₁, l₁^/ каждое с весом p₁ ,

l₂, l₂^/ -“-p₂,

_… …. … … … …

l_n, l_n^/ -“-p_n.

Составим разности

d₁ = l₁ – l₁^/,

d₂ = l₂ – l₂^/,

…. …. … …

d_n = l_n – l_n^/.

Полученные разности являются истинными ошибками самих разностей, поэтому можно записать

Каждая разность d_i = l_i – l_i^/ является функцией равноточных измерений с весом p_i.

Следовательно, и формула примет вид

(79)

При наличии систематических ошибок их предварительно исключают по формуле

(80)

После исключения систематических ошибок среднюю квадратическую ошибку единицы веса находят по формуле

(81)