Параметрические и непараметрические оценки

В зависимости от знания распределения вероятностей случайных ошибок определяют параметрические и не параметрические оценки.

Если плотность распределения известна, то оценки положения и рассеивания могут определятся как параметры функции положения и рассеивания.

Например, если известна плотность распределения

(1.1)

где а и  – параметры сдвига и масштаба данной плотности.

То применяя метод моментов можно выразить оценки положения и рассеивания через а и . Для этого необходимо записать два уравнения: первое – для начального масштаба; второе – для центрального момента.

Приравняв теоретические моменты к этим уравнениям получим систему уравнений.

, (1.2.)

где

(1.3.)

Из этих уравнений после интегрирования получим, что

(1.4.)

, (1.5.)

В таком случае параметр а выступает как среднее арифметическое (математическое ожидание) результатов измерений, а параметр , как стандарт измерений.

Вторым примером параметрического описания является метод максимального правдоподобия (ММП). Идея этого метода заключается в том, что появляющиеся в данном эксперименте ошибки измерений обладают наибольшей вероятностью, т.е. наиболее вероятно то, что произошло в данном эксперименте, опыте.

Проиллюстрируем данный метод на примере нормального распределения. Пусть имеются результаты измерений или просто измерения: x₁, x₂, …, x_n с плотностями распределения вероятностей соответственно:

(1.6.)

.........

Функция плотности вероятностей совместного появления измерений равна

f(x)=f(x₁)*f(x₂)*…*f(x_n), (1.7.)

или

, (1.8.)

Ее называют функцией правдоподобия.

В соответствии с методом максимального правдоподобия записывается логарифм функции правдоподобия

L=ln(f(x1,x2,…,xn)), (1.9.)

или

, (1.10)

и находится ее максимум.

Условием экстремума функции является равенство нулю ее частных производных по оцениваемым параметрам

, (1.11.)

или

, (1.12.)

Из первого уравнения находится 

, (1.13.)

из второго a

, (1.14.)

Отметим, что максимум логарифма функции правдоподобия при известном  достигается при условии

, (1.15.)

что является обоснованием метода наименьших квадратов (МНК).

Непараметрическое оценивание выполняется в случае отсутствия информации о виде функции плотности распределения вероятностей ошибок измерений. При этом оценивание может осуществляться методом наименьших квадратов, методом наименьших модулей, когда

, (1.16.)

методом минимума максимально допустимой ошибки

min max , (1.17.)

или

max(₁,₂,...,_n) = min , (1.18.)

и другими.

Часто в качестве параметрического метода выбирается такой в котором получаемые оценки в наименьшей мере зависят от вида функции плотности распределения вероятностей ошибок.

Дисперсия функции измеренных величин

Часто искомые величины получают путем вычислений по измеренным величинам, поэтому возникает необходимость оценивать точность функций измеренных величин. Такими функциями выступают высоты точек от исходных реперов по измеренным превышениям, приращения координат по измеренным углам и длинам линий и др.

В общем случае функции измеренных величин могут быть как линейными так и нелинейными. В линейном случае функция является линейной комбинацией ее аргументов. И ошибка функции является функцией линейной комбинацией ее аргументов, т.е. измеренных величин.

На основе функций представленных в линейном виде, вычисляют их дисперсии по дисперсиям результатов измерений.

Пусть имеются результаты измерений x₁, x₂,x₃, x_n и их линейная комбинация

х=с₀+с₁х₁+ с₂х₂ +…..+с_nх_n

Предположим что точность каждого аргумента выражается дисперсией

И между отдельными аргументами может существовать корреляционная связь, выражаемая коореляционным моментом К_ij где ij номера измерений

Где М_х математическое ожидание х

Тогда

,

Поскольку С С С С постоянные

То с₀=Мс₀

И тогда

поскольку

Где к –ковариационный момент величин х и х, то получим

Это и есть дисперсия линейной комбинации зависимых результатов измерений. Степень зависимости определяется величиной К

В случае независимых измерений дисперсия линейной комбинации будет

Оценка истинного значения функции измеренных величин в нелинейном случае.

Пусть имеется функция

Где х₁, х₂, ,х_n результаты измерений которые характеризуются соответствующими дисперсиямиа также математическим ожиданиями

Следует также определить математическое ожидание и дисперсию функции у.

Будем полагать, что с достаточной для практики точностью ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности математических ожиданий М ее аргументов. Разложение ограничим первыми степенями.

очевидно что тогда

Где значения производных берутся в точке метематических ожиданий.

Очевидно что

Поскольку

То

Приближенно можно положить

Если математическое ожидание результатов измерений и функции заменить соответсвующми средними арифметическими значениями

То

Для оценки дисперсии функции воспользуемся дисперсией линейной комбинации измерений.

Тогда очевидно, что

При этом положено, что

,,….

В случае независимых измерений