3.1. Оценка истинного значения измеряемой величины при независимых равноточных измерениях

Пусть имеется ряд равноточных независимых, т.е. некоррелированных измерений х₁, х₂,…., хⁿ.

Известно множество оценок истинного значения измеряемой величины на основе результатов возможных измерений – мода, медиана, различные средние и др.

Однако среди всех оценок выбирают достаточно состоятельную, несмещенную и эффективную. Такая оценка является статистически наилучшей. Для ее определения поступим следующим образом. Обозначим через х окончательную оценку измеряемой величины, т.е. статистически наилучшую.

Между ней и каждым измерением xi будут иметь место следующие равенства

x-x₁=V₁

x-x₂=V_{2 ,} (3.1.)

……...

x-x_n=V_n,

где Vi – поправки в измерении с номером i при i=1, 2, 3,…, n.

Измеряемую величину еще называют определяемым параметром. Для получения несмещенной оценки параметра потребуем, чтобы ее математическое ожидание Mx равнялось математическому ожиданию результатов измерений Mx_i, т.е. чтобы выполнялись равенства

Mx₁=Mx

Mx₂=Mx , (3.2.)

……...

Mx_n=Mx

Оценку названного параметра запишем в виде линейной комбинации результатов измерений

x=c₁*x₁+c₂*x₂+….+c_n*x_n, (3.3.)

где c₁, c₂, …, c_n – некоторые постоянные множители, независящие от результатов измерений.

Ее математическое ожидание будет

Mx=c₁*Mx₁+c₂*Mx₂+…+c_n*Mx_n, (3.4.)

или в соответствии с равенством (3.2.)

Mx=(c₁+c₂+…+c_n)*Mx, (3.5.)

Следовательно, должно выполняться условие

c₁+c₂+….+c_n=1, (3.6.)

которое является алгебраическим выражением условия несмещенности полученной оценки параметра.

Поскольку названная оценка включает все измерения, то она будет и достаточной. Для достижения эффективности необходимо, чтобы ее дисперсия была минимальной. Полагая измерения независимыми с одинаковыми стандартами  запишем в соответствии с (4) дисперсию оценки х, которая должна быть минимальной, т.е.

Dx=c₁²*²+ c₂²*²+….+ c_n²*², (3.7.)

или

Dx=(c₁²+ c₂²+….+c_n²)* ², (3.8.)

Для определения с₁, с₂,….., с_n составим функционал Лагранжа

ф=(c₁²+c₂²+….+c_n²)  ²+2(c₁+c₂+…+c_n-1), (3.9.)

где  – неопределенный множитель Лагранжа.

Условием экстремума является равенство нулю следующих частных производных

,(3.10.)

... ... ...

Из этих уравнений найдем

с₁=с₂=…..=с_n=-/² , (3.11.)

Для вычисления  на основе условия несмещенности запишем

, (3.12.)

или

, (3.13.)

Тогда

с₁=с₂=….=с_n=¹/n, (3.14.)

Подставляя эти значения в выражения линейной комбинации (3.3.), найдем

, (3.15.)

где квадратными скобками обозначим знак суммы.

Таким образом наилучшей по статистическим свойствам оценкой истинного значения измеряемой величины в ряде равноточных измерений является среднее арифметическое.

Ее дисперсия в соответствии с формулой (3.8.)

, (3.16.)

В предположении нормальности распределения и независимости ошибок измерений в соответствии с методом максимального правдоподобия стандарт измерения оценивается по формуле

, (3.17.)

Однако следует отметить, что любая предполагаемая оценка должна удовлетворять статистическим свойствам: достаточности, эффективности, несмещенности и состоятельности. Оценки ММП обладают почти всеми такими свойствами, но могут быть смещены. Смещение это необходимо исправить. Так если оценку стандарта обозначить через m, то ее выражение в соответствии с ММП будет

, (3.18.)

где x – среднее арифметическое значение результатов измерений.

Необходимо, чтобы математическое ожидание этой величины равнялось ² , если Mx =M_x^-=a, когда a – истинное значение измеряемой величины. Тогда

, (3.19.)

Математическое ожидание суммы квадратов отклонений можно переписать так

, (3.20.)

Или

Поскольку M((x-a)²) является дисперсией среднегоарифметического, которая равна

а

то

, (3.21.)

На основе этого выражения в соответствии с (1.37.) можно записать так, что

, (3.22.)

Следовательно, для того чтобы

, (3.23.)

необходимо квадрат средней квадратической ошибки умножить на величину n/(n-1). Значит несмещенной оценкой квадрата стандарта будет величина

, (3.24.)