4. Статистические свойства ошибок

Среди множества оценок положения и рассеивания выбирают те, которые удовлетворяют определенным статистическим свойствам. Именно на этом базируется теория математической обработки геодезических измерений.

Все оценки должны удовлетворять следующим свойствам:

Достаточность – это значит, что оценка должна использовать всю информацию, получаемую в результате измерений.

Например, если из пяти измерений лишь по двум найдено среднее арифметическое, то такая оценка недостаточна.

Состоятельность – это значит, что вероятность того, что отклонение оценки от истинного значения не превысит определенный допуск  равно 1

, (2.3.)

где Θ – оценка,

Θ - истинное значение измеряемой величины.

Несмещенность – это значит, что при числе измерений стремящемся к бесконечности, значение оценки сходится к истинному значению. Это свойство предполагает отсутствие систематических ошибок.

Эффективность – это значит, что среди всех оценок выбранная должна обладать наименьшим рассеиванием.

Если в качестве оценки рассеивания принять дисперсию, то эффективная оценка должна обладать минимальной дисперсией.

Существует также неравенство Рао-Крамера, ограничивающее дисперсию оценки снизу

, (2.4.)

где Θ – оцениваемый параметр,

f – плотность распределения.

Производная логарифма берется по оцениваемому параметру.

В предположении достаточности и состоятельности в теории математической обработки находят эффективные и несмещенные оценки.

Лекция 2

Понятие о законах распределения случайных ошибок

Случайные ошибки определяются как случайные величины в теории вероятностей и математической статистике. Случайная величина – переменная величина. Появление какого-либо ее значения является случайным событием. Случайным является такое событие, осуществление которого нельзя предвидеть: оно может произойти, но может и не произойти.

Достоверным является событие, которое при повторении должно произойти.

Невозможным считается событие, которое заведомо не может произойти.

Случайные события, происходящие при неизменном комплексе условий, обладают определенной статистической закономерностью. Эта закономерность проявляется в устойчивости частостей событий. Если через К обозначить число появления данного события в ряде результатов испытаний, а n число испытаний, то частостью будет величина

Эту величину называют эмпирической зависимостью. Она всегда находится в интервале

Кроме того

Где t число всех событий в ряде испытаний

Обычно вероятность события обозначают через Р. Тогда справедливо также

Случайные величины являются прерывными (дискретными) и непрерывными.

Законом распределения дискретной случайной величины называется перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Этот закон может быть представлен в виде таблицы графика и аналитически. Аналитическое представление задается функцией вероятности появления событий от числа испытаний, вероятности появления событий при одном испытании Р и других параметров в зависимости от поставленной задачи.

Закон распределения непрерывной случайной величины задается функцией распределения

определяющей для каждого значения вероятность того что случайная величина примет значение меньше х.

вместо функции распределения часто пользуются функцией плотности распределения случайной величины

Функцию плотности еще называют дифференциальной функцией. Зная дифференциальную функцию можно найти функцию распределения по формуле

.

Числовые характеристики распределения случайных величин

Можно выделить характеристики распределения случайной величины и характеристики дифференциальной функции. Характеристики распределения случайной величины делятся на две группы: характеристики положения и характеристики рассеивания

К характеристикам модно отнести рассмотренные ранее оценки положения. К характеристикам рассеивания оценки рассеяния.

Ряд числовых характеристик выражается через центральные и обычные моменты случайной величины.

Введем обозначения

α_r - обычный момент случайной величины х порядка r

μ_r - центральный момент случайной величины х порядка r

M- среднее значение или математическое ожидание случайной величны х

σ² =D(x)- квадрат стандартного отклонения или дисперсия случайной величины

x_½- медиана случайной величины х

x₀- мода случайной величины х

Существующая связь между этими величинами и дифференциальной функцией следующая

Очевидно. что математическое ожидание это обычный момент первого порядка.

Медианой называется величина , при которой вероятность того что величина х примет значение меньше х равна 1/2т.е. это корень следующего уравнения

Мода – значение случайной величины прих при котором функция принимает максимальное значение.

Асимметрия и эксцесс дифференциальной функции вычисляются по формулам соответственно