3.Оценки положения и рассеивания

По результатам измерений вычисляются величины, которые принимаются за истинное значение измеренной величины. Такие величины как и результаты измерений являются случайными величинами.

Любая функция лишь результатов измерений называется статистикой. Оценкой называется статистика, принимаемая в качестве неизвестного истинного значения измеренной величины.

Оценка – это числовая характеристика величины.

Оценка положения – статистика, характеризующая значение измеряемой величины.

Оценка рассеивания – статистика, характеризующая разброс результатов вокруг истинного значения измеряемой величины. Оценка рассеивания – это мера точности результатов измерений.

Используя числовой пример приведем возможные оценки положения и рассеивания. В качестве примера примем ряд измерений одной величины – длины линии.

x₁=103,01 м;

x₂=103,11 м;

x₃=103,16 м;

x₄=103,17 м;

x₅=505,57 м. 103,07

В качестве оценки положения может быть принято: среднее арифметическое значение ряда измерений, медиана, мода (наиболее часто встречающееся значение), среднее из крайних по величине значений, среднее геометрическое, среднее гармоническое,

Среднее геометрическое

Среднее гармоническое

Одно из значений, среднее из произвольно выбранных измерение и др.

В качестве оценки рассеивания может быть принято: среднее абсолютное отклонение,

среднее квадратическое отклонение,

Где v- отклонение результата измерения от принятой оценки.

абсолютное медианное отклонение, среднее гармоническое отклонение по модулю, среднее геометрическое отклонение по модулю, размах (разность крайних по величине значений) и др.

В нашем примере принимаемая в качестве оценки положения медиана равна x_m=103,16. В соответствии с этой оценкой отклонения (в сантиметрах) будут

Δ₁=x₁-x_m=-15 -9

Δ₂=x₂-x_m=-5 +1

Δ₃=x₃-x_m=0 +6

Δ₄=x₄-x_m=+1 +7

Δ₅=x₅-x_m=+402,41 -3

Вариационный ряд абсолютных значений отклонений будет: 0, 1, 5, 15, 402.41.

Принимаемое в качестве оценки рассеивания абсолютное медианное отклонение равно 5 см. Из примера видно, что она наиболее устойчива (робастна) по отношению к грубой ошибке в пятом измерении.

Среднее абсолютное отклонение 5.2 а среднее квадратическое отклонение 5,9 см.

Статистики – это величины, получаемые по определенным формулам из результатов измерений. Можно сказать, что статистики – это функции результатов измерений. Все приведенные ранее примеры оценок являлись статистиками.

Дополнительно отметим, что в предположении нормальности распределения ошибок измерений существует связь между отдельными статистиками. Так, если обозначить, что V –среднее абсолютное отклонение ( средняя ошибка ) , r’ – абсолютное медианное отклонение (срединная ошибка, вероятная ошибка ), то в случае нормального распределения

r’=0.67m, (2.1.)

V=0.80m , (2.2.)

где m – средняя квадратическая ошибка.

Эти зависимости теоретические. Они сформулированы лишь при числе измерений, стремящемся к бесконечности.