Основными характеристиками распределения случайной величины
являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины х называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности р
n |
|
X xi pi |
. (5) |
i 1
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) матема- тическое ожидание определяется по формуле:
Xxf (x)dx
.(6)
Дисперсией случайной величины Х называ-ется число,
определяемоеnпо формуле:
D( X ) 1 (xi x)2 n i 1
Положительное значение квадратного корня из дисперсии называют стандартом или
средним квадратическим
отклонением D( X )
.
(8)
Для случайных ошибок измерений, как уже отмечалось, математическое ожидание равно
|
|
нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=0. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 D( ) |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
, (9) |
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|||||
[ 2 ] |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
(10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n стремящемуся к бесконечности.
5.Числовые характеристики точности измерений.
В качестве теоретической характеристики точности измерений обычно пользуются средним квадратическим отклонением σ.
Поскольку величина σ не известна, практически пользуются ее приближенным значением – средней квадратической ошибкой (СКО), определяемой
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
21 22 ... 2n |
|
|
2 |
|
|
||
m |
|
, (11) |
|||||
n |
|||||||
|
n |
|
|
||||
где ∆1, ∆2, ..., ∆n – истинные ошибки измерений.
При большом значении n |
|
m ≈ σ. |
(12) |
При ограниченном числе измерений величина m будет характеризовать величину σ с некоторой ошибкой. Для
оценки точности определения самой |
|
||||
средней квадратической ошибки |
|
||||
существует формула: |
m |
|
|
|
|
m |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
m |
2n |
(13) |
|||
|
|
||||
Оценку точности измерений характеризуют также предельной ошибкой, вычисляемой по формуле:
∆пр= τm, |
(14) |
где τ – коэффициент, значение которого прини-мают таким, чтобы была мала вероятность появления ошибки больше вероятной.
Обычно для τ принимают значения 3, 2.5, или 2.
В дальнейшем при решении задач по оценке точности измерений будем пользоваться формулой
∆пр= 3m.
Для оценки точности иногда пользуются средней
ошибкой v и вероятной ошибкой r. Средняя ошибка вычисляется по формуле
(15)
v [ n ] .
При нормальном распределении средняя ошибка v связана со средней квадратичеcкой ошибкой m
примерным соотношением |
4 |
m. |
|
v |
5 |
(16) |
|
|
|
|
Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда будет вероятной. Со средней
квадратической ошибкой она связана соотношением |
|
r 2 m. |
(17) |
3 |
|
Ошибка, выраженная в единицах измерения, называется абсолютной. Отношение ее к измеренной величине называется относительной ошибкой.