-
Вычисление площадей плоских фигур
Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, равна определённому интегралу от функции : . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то площадь такой трапеции вычисляется по формуле: .
Пусть фигура ограничена снизу графиком функции , сверху – графиком функции , слева – прямой x=a и справа – прямой x=b.
Тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле: .
Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём точки пересечения параболы с осью Ох: , , , . Уравнение прямой запишем в виде . Изобразим эти линии в системе координат и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями.
Найдём абсциссы точек пересечения линий: , , , . Тогда площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Вопросы для самоконтроля знаний
-
Что называется первообразной функцией?
-
Что называется неопределённым интегралом от данной функции?
-
Как формулируются основные свойства неопределённого интеграла?
-
Какие существуют основные методы интегрирования?
-
В чём суть непосредственного интегрирования?
-
В чём суть метода замены переменной (метода подстановки)?
-
В чём суть метода интегрирования по частям?
-
Что называется определённым интегралом от данной функции на данном отрезке?
-
Каков геометрический смысл определённого интеграла?
-
Как формулируются основные свойства определённого интеграла?
-
Как записывается формула Ньютона-Лейбница?
-
Как выполняется замена переменной в определённом интеграле?
-
Как записывается формула интегрирования по частям в определённом интеграле?
-
Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат?
Задания для самостоятельной работы
-
Найти неопределённые интегралы непосредственным интегрированием:
а) ; б) .
2. Найти неопределённые интегралы, используя метод замены переменной:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
3. Найти неопределённые интегралы интегрированием по частям:
а) ; б) ; в) ; г) .
-
Вычислить интегралы:
а) ; б); в); г).
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) ; б) .