15. Письмове множення і ділення

Опрацювання теми відбувається в такій послідовності: множення дво-і грицифрових чисел на одноцифрове число; ділення трицифрових чисел на одноцифрове число; множення двоцифрових чисел на двоцифрове число; цілення трицифрових чисел на двоцифрове число.

Множення двоцифрових чисел на двоцифрове і ділення трицифрових чисел на двоцифрове, що вивчається на початку навчального року в 4 класі, має бути ґрунтовно опрацьованим і практикуватись протягом всього

навчального року.

Письмове множення на одноцифрове число. Послідовність розгляду випадків множення визначається зростанням їх складності: 213 • 3 = 639 (множення (без переходу через розряд); 37 • 6 = 222, 127 • 3 = 381 (множення з переходом через розряд); 151 • 6 = 906 (у добутку нуль); 125 • 4 = 500 (у добутку два нулі). ІІотім учні вчаться застосовувати набуті вміння для

Перехід від усного множення до письмового треба здійснити так, щоб учні усвідомили необхідність вивчення письмового множення (з цією метою учням потрібно запропонувати текстову задачу практичного змісту).

Пояснення. При письмовому множенні другий множник записуємо під першим. Розмістити числа треба так, щоб одиниці другого множника були шписані під одиницями першого.

При письмовому множенні починають множити з одиниць: множимо па 3 спочатку 2 од., потім 1 дес. і, нарешті, 3 сот.

2 од. помножити на 3, буде 6 од. Пишемо цифру 6 під одиницями. 1 дес. помножити на 3, буде 3 дес. Пишемо цифру 3 під десятками. З сот. помножити на 3, буде 9 сот. Пишемо цифру 9 на місці сотень. У добутку отримали число 936.

Докладне пояснення. Множимо 9 од. на 6, буде 54 од. Це 5 дес. і 4 од.; 4 од. пишемо під одиницями, а 5 дес. запам'ятовуємо; 3 дес. помножити на 6, буде 18 дес. та ще 5 дес, буде 23 дес. Це 2 сот. і 3 дес. Отримаємо 234.

Коротке пояснення. Множимо 7 на 3, буде 21; 1 пишемо, а 2 запам'ятовуємо;

2 множимо на 3, буде 6 та ще 2, буде 8. 1 помножити на 3, буде 3. Пишемо 3. Всього маємо 381.

Письмове ділення на одноцифрове число. Алгоритм письмового ділення складається з багатьох операцій: перетворення одиниць вищого розряду на одиниці нижчого розряду, табличне ділення, ділення з остачею, множення, віднімання. Ці операції мають стати предметом підготовчої роботи. Велику увагу слід приділити повторенню випадків ділення з одиницею і нулем, перевірці ділення множенням.

Письмове ділення на одноцифрове число вивчають у такій послідовності: 966 : 3 = 322; 864 : 4 = 216; 276 : 4 = 69; 822 : 6 = 137; 618 : 3 = 206. Варто також обчислити кілька виразів на сумісні дії, однією з яких є ділення на одноцифрове число.

Випадок виду 966 : 3 розглядають без детального коментування; туї' головною є форма запису, розміщення компонентів письмового ділення. На наступному уроці подається детальне коментування ділення виду 864 : 4.

Ми відразу подаємо пояснення для випадку письмового ділення, коли її частці буде двоцифрове число.

При усному діленні ми розкладали ділене на зручні доданки і потім ділили на 3 кожний доданок окремо. При письмовому діленні також розкладають ділене на зручні доданки. Проте спочатку знаходять неповні ділені — цс числа, які попередньо виділяють із діленого, щоб відшукати цифру частки.

Розгляньмо детальне пояснення процесу ділення на прикладі 276 : 4.

Докладне пояснення. Ділене — 276, дільник — 4. Утворюємо перше неповне ділене. Вищий розряд діленого — сотні. 2 сот. не можна поділити на 4 так, щоб у результаті отримати сотні.

Замінимо 2 сот. десятками і додамо 7 дес, отримаємо 27 дес. Це перше неповне ділене. Отже, вищий розряд частки — десятки. У частці буде дві цифри. Позначимо їх місце крапками.

27 дес. поділимо на 4, буде 6 дес. Запишемо цифру 6 у частці на місці десятків. Визначимо, скільки всього десятків поділили. Помножимо 6 дес. на 4, буде 24 дес. Запишемо 24 дес під 27 дес. діленого, тобто під першим неповним діленим і підведемо риску. Віднімемо 24 дес. від 27 дес, буде

3 дес; 3 дес. не можна поділити на 4 так, щоб отримати десятки. Отже, цифру 6 знайдено правильно.

Утворимо друге неповне ділене. До остачі додамо 6 од. діленого; 3 дес. і Ь од., буде 36 од. Поділимо 36 од. на 4, буде 9 од. Запишемо цифру 9 у частці ми місці одиниць. Визначимо, скільки одиниць поділили. Помножимо 9 од. на 4, буде 36 од. Запишемо 36 од. під другим неповним діленим і підведемо риску. Віднімемо 36 від 36, буде 0. Одиниці поділили всі. Частка — 69.

У 4 класі повторюємо докладне пояснення алгоритму ділення на одпоцифрове число і вводимо коротке пояснення, яким користуємось надалі.

Наведені зразки пояснень свідчать про складність алгоритму письмового ділення. Засвоєння його викликає в учнів значні труднощі. Певну допомогу її їх подоланні може надати така

пам 'ятка письмового ділення:

1. Виділіть перше неповне ділене і встановіть кількість цифр у частці.

2. Знайдіть першу цифру частки, дізнайтеся, скільки одиниць першого неповного діленого поділили і скільки залишилось поділити.

3. Утворіть друге неповне ділене і продовжуйте ділення, поки не розв'яжете приклад до кінця,

Тема "Письмове множення двоцифрового числа на двоцифрове".

Докладне пояснення. При письмовому множенні на двоцифрове число спочатку множать на одиниці, а потім на десятки. Нам треба 23 помножити спочатку на 2, а потім на 40, або 4 дес.

Множимо 23 на 2 од. і в результаті отримаємо одиниці, тому результат починаємо записувати під одиницями. З помножити на 2, буде 6, запишемо цифру 6 під одиницями; 2 помножити на 2, буде 4. 46 — перший неповний добуток.

Множимо 23 на 4 дес. і в результаті отримаємо десятки, тому результат починаємо записувати під десятками. З помножити на 4, буде 12; запишемо цифру 2 під десятками, а 1 запам'ятаємо; 2 помножити на 4, буде 8. До 8 додаємо 1, матимемо 9. 92 дес. — другий неповний добуток.

Додамо неповні добутки й отримаємо остаточний результат 966.

Тема "Ділення трицифрового числа на двоцифрове у випадку одно-цифрової частки".

Пояснення. Ділене — 144, дільник — 24. 14 менше, ніж 24, отже, будемо ділити відразу 144 на 24. У частці буде одна цифра. Частку шукаємо способом випробовування. Пробну цифру можна швидше знайти, якщо 14 дес. поділимо на число десятків дільника: 14:2 = 7. Перевіримо цифру 7 усно: 20 • 7 = 140, 4 • 7 = 28, сума чисел 140 і 28 більша, ніж 144. Цифра 7 не підходить. Перевіримо цифру 6. 20 • 6 = 120, 4 ■ 6 = 24, сума чисел 120 і 24 дорівнює 144. Отже, цифра 6 правильна. Запишемо у частку цифру 6.

І нарешті, розглядають ділення трицифрового числа на двоцифрове у випадку двоцифрової частки.

Докладне коментування. Перше неповне ділене — 82 дес. Отже, вищим розрядом частки будуть десятки. Тому в частці буде дві цифри.

Дізнаємося, скільки десятків буде в частці. Для цього 82 дес. поділимо на 36. Можна взяти по 2. Дізнаємося, скільки десятків поділили. Для цього 2 дес. помножимо на 36. Буде 72 дес. Дізнаємося, скільки десятків ще не поділили. Для цього від 82 дес. віднімемо 72 дес. Залишилось 10 дес.

Утворимо друге неповне ділене. 10 дес. — це 100 од. та ще 8 од. діленого — буде 108 од. Дізнаємося, скільки одиниць буде в частці. Для цього 108 поділимо на 36. Можна взяти по 3. Помножимо 36 на 3, щоб дізнатись, скільки одиниць поділили. Буде 108. Поділили всі одиниці. Остачі немає. Частка — 23.

.16 Розвиток уявлень учнів про складену задачу і процес її розв'язування

Підготовча робота до введення складених задач. На уроках ознайомлення зі складеними задачами важливо, щоб учні зрозуміли їхню основну відмінність від простих: ці задачі не можна розв'язати відразу, однією дією. Щоб відповісти на запитання задачі, спочатку знаходять число, якого немає в умові задачі. Розумінню цього сприяє підготовча робота, яка починається задовго до введення складених задач:

1. Розв'язування задач з недостатніми даними.

Задача. На клумбі росло 12 квіток. Декілька квіток зрізали для букета. Скільки квіток залишилося на клумбі?

Виконуючи такі вправи, учні дізнаються, що не завжди можна відразу дати відповідь на запитання задачі, бо може не вистачити числових даних. В наведеній задачі їх треба підібрати, а при розв'язуванні складених задач недостатні числа треба знайти, виконавши відповідну дію над даними у задачі числами. "

2. Вироблення вмінь розв'язувати прості задачі, які входять до складеної.

3. Постановка запитань до даної умови.

Завдання. Постав запитання до умови задачі і розв'яжи задачу.

Задача. На одній полиці було 4 книжки, а на іншій — на 2 книжки більше.

Якщо учень поставить запитання: "Скільки всього книжок на двох полицях?", то вчитель з'ясовує, що треба знати для того, щоб відповісти на це запитання і чи відомо це з умови задачі. Вчитель підсумовує, що для відповіді на таке запитання необхідно виконати дві дії, тому для того, щоб отримати відповідь відразу, це запитання ставити не можна.

4. Розв'язування задач з двома запитаннями.

Для ознайомлення учнів зі складеною задачею доцільно взяти таку, яка розв'язується різними діями першого ступеня. Варто розпочати із задачі, що складається з простих задач на знаходження суми й остачі.

Задача. Сашко приніс 6 морквин, а Оленка — 4 морквини. 8 морквин вони віддали кролям. Скільки морквин залишилося?

Розгляньмо два способи введення складеної задачі.

І спосіб. Учитель читає задачу, а хлопчик і дівчинка виконують відповідно ті дії, про які йдеться в умові. Повторюючи задачу, вчитель записує її коротко на дошці:

Принесли — 6 м. і 4 м. Віддали — 8 м. Залишилося — ?

Потім за цим записом задачу аналізують.

Сашко приніс 6 морквин, а Оленка — 4 морквини. Про що можна дізнатися за цими даними? (Скільки всього морквин принесли Сашко й Оленка). Якою дією? (Дією додавання). Якщо буде відомо, скільки всього морквин принесли діти і скільки морквин вони віддали кролям, то про що можна дізнатися? Якою дією? (Учитель записує на дошці розв'язання, залучаючи дітей до його обгрунтування).

Це є звичайний розбір складеної задачі. Однак про складену задачу діти ще не чули. Вчитель їх просто підводить до того, що в цій задачі мають бути дві дії.

Розвиток уявлень учнів про структуру задачі. У процесі розв'язування простих задач та ознайомлення зі складеною задачею діти отримують деякі уявлення про структуру задачі. Подальший розвиток цього уявлення відбувається під час розв'язування різних видів складених задач.

Щоб звернути увагу на основну відмінність складеної задачі від простої, ставлять, наприклад, такі запитання: Чи можна розв'язати задачу однією дією? Чому не можна розв'язати задачу однією дією? Яку маємо задачу — просту чи складену?

Такі запитання корисні, але вони не охоплюють усіх компонентів поняття "задача". Роботу в цьому напрямку потрібно урізноманітнити.

Розгляньмо питання про кількість числових даних.

Учні швидко усвідомлюють, що в арифметичній задачі має бути не менше, ніж два числа. Проте іноді вони забувають про це і намагаються розв'язати задачу тільки з одним числовим даним. З цією метою доцільно також розглядати задачі з недостатньою кількістю даних.

Задача 1. У дівчинки було 20 коп. Вона купила олівець. Скільки грошей залишилося у дівчинки?

Задача 2. На першому полі збирали пшеницю 7 комбайнів, на другому — комбайнів було більше, ніж на першому. Скільки всього комбайнів збирали пшеницю ?

Учитель ознайомлює дітей із задачею, а потім запитує: "Чи можна розв'язати цю задачу? Чому її не можна розв'язати? Що треба ще знати, щоб знайти відповідь? Як треба доповнити задачу?".

Задача може містити і два числа, але вони не перебувають у тому відношенні, яке передбачає запитання.

Задача. На прогулянку в ліс пішло 2 хлопчики. Один з них знайшов 5 грибів, а інший — менше. Скільки грибів знайшли хлопчики разом?

У роботі над деякими задачами можна вказати прийоми, за допомогою яких з'ясовують, що числові дані задачі перебувають у певних зв'язках, а їх вибір визначається запитаннями. Для задач, пов'язаних різницевим або кратним відношенням, ці прийоми зводяться до постановки запитання: що в задачі сказано про залежність між числами? Учні відповідають: "У задачі сказано, що друге число на 3 менше, ніж перше". До задач з пропорційними величинами ставлять узагальнені запитання: "Як за ціною і кількістю знайти вартість?"; "Про що можна дізнатись, якщо відомі шлях і швидкість?" та ін.

Певне значення для розвитку уявлень дітей про структуру задачі має "будова запитання". При цьому виділяють дві групи задач. Перша група — умова і запитання роздільні, тобто запитання виділено в окреме речення і не містить числових даних. Друга група — це задачі, в яких умова і запитання розділені не повністю, у запитанні є числові дані. Варто виконати кілька завдань на перебудову задачі, щоб запитання не містило числових даних.

Задача. У магазині було 2 рулони тканини: 40 м і 60 м. Скільки метрів тканини залишилось, якщо за день було продано 90 м ?

Після розв'язання задачі вчитель пропонує учням прочитати запитання задачі і сказати, яка його частина належить до умови, а яка — до запитання.

У підручниках для початкових класів переважна більшість задач містить запитання зі словом "скільки", решта задач містить запитання з такими словами та виразами: "Чому дорівнює...?", "Знайти...", "Обчислити...". Кількість цих задач з кожним наступним роком зростає, але за змістом вони належать до практичних задач. Це є однією з причин того, що вимогу задачі учні розуміють як речення, яке починається зі слова "скільки".

Щоб запобігти такому стереотипу, слід іноді перебудовувати запитання. Наприклад, замість "Скільки літрів бензину залишилося?" запитуємо: "Знайти остачу бензину", "Чому дорівнює остача бензину?". Узагальнювала ним словом тут є "остача". Запитання "Скільки грошей учень заплатив за всю покупку?" можна перебудувати так: "Обчисліть вартість усієї покупки учня".

Запитання без слова "скільки" пропонує вчитель, а перебудоване запитання, що містить слово "скільки", формулюють учні.

Для розвитку уявлень дітей про структуру задачі дуже корисно вико­ристовувати вправи на перетворення та складання задач. Для простих задач основними вправами є добір запитання до умови або добір умови до запитання. З переходом до задачі на дві дії учням пропонують такі завдання: змінити в задачі умову або запитання так, щоб вона розв'язувалась двома діями, або, навпаки, перетворити складену задачу на просту.

У 3 класі запроваджується складання обернених задач.

Прийоми розвитку уявлень учнів про процес розв'язування задач. Розвиток уявлень учнів про "технологію" розв'язування задач і формування вмінь розв'язувати задачі становлять фактично єдиний процес. Проте серед прийомів, спрямованих на забезпечення цього процесу, можна виділити такі, які більше стосуються його першої частини. Це розв'язування складених задач за даним планом, графічне зображення повного аналізу і плану розв'язування.

Розв'язування задач за даним планом слід розглядати і як спеціальне завдання, і як методичний прийом, завдяки чому забезпечується усвідомлення учнів у необхідності складати план, а також розкривається "технологія" розв'язування складеної задачі, її структура.

У 2-4 класах бажано розв'язати за даним планом хоча б одну задачу на тиждень.

Повний аналіз і його графічне зображення.

Задача. Купили 40 кг помідорів. Восьму частину маси усіх помідорів залишили для їжі, а решту — зас'олили порівну в 7 банок. Скільки кілограмів помідорів поклали в кожну банку?

Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати, скільки банок було і скільки кілограмів помідорів засолили). Скільки банок було — відомо, а скільки кілограмів помідорів засолили — невідомо. Що треба знати, щоб знайти, скільки всього засолили помідорів? (Треба знати, скільки кілограмів помідорів купили і скільки залишили для їжі). Скільки кілограмів помідорів купили — відомо, а скільки залишили для їжі — невідомо. Що треба знати, щоб знайти, скільки кілограмів помідорів залишили для їжі? (Треба знати, скільки всього кілограмів помідорів купили і яку частину їх залишили для їжі. Обидві величини відомі).

Мол. 125 План розв'язування

1) Скільки кілограмів помідорів залишилося для їжі?

2) Скільки кілограмів помідорів засолили в банках?

3) Скільки кілограмів помідорів поклали в кожну банку?

Способом повного аналізу задачі з його графічним зображенням доцільно розв'язати три-чотири задачі в 3-4 класах. Вся робота виконується під керівництвом учителя. Для самостійної роботи молодшим школярам такі завдання не пропонують.

Розгляньмо початкове ознайомлення учнів зі способом повного аналізу задачі з його графічним зображенням (мал. 127).

Задача. Посадили 6 саджанців яблунь і 2 ряди саджанців груш по 12 саджанців кожен. Скільки саджанців дерев посадили ?

Бесіда. Проведемо відшукання способу розв'язування задачі. Що запитується в задачі? (Скільки дерев посадили?). Позначимо запитання від­повідним знаком і візьмемо його в кружечок (мал. 127). Що треба знати, щоб знайти кількість саджанців дерев? (Треба знати, скільки посадили саджанців яблунь і груш окремо).

Учитель проводить від цього кружечка дві стрілки і до кожної стрілки креслить по кружечку, а потім запитує:

— Чи знаємо скільки саджанців яблунь посадили? (6). Запишемо це у лівому кружечку. Чи відомо, скільки саджанців груш посадили? (Ні). Поставимо в правому кружечку знак запитання. Що треба знати, щоб знайти, скільки саджанців груш посадили? (Скільки рядів груш посадили і по скільки саджанців груш садили в ряду).

Учитель від правого кружечка проводить дві стрілки і креслить два кружечки.

— Чи знаємо, скільки рядів саджанців груш? (2). Скільки саджанців груш садили в ряд? (12). Запишемо в кружечки числа 12 і 2. Тепер можна скласти план розв'язування задачі. Спочатку дізнаємося, скільки саджанців груш посадили в 2 ряди. Це перше запитання (учитель ставить цифру 1 біля від­повідного кружечка). Потім дізнаємося, скільки всього дерев посадили. Це друге й останнє запитання задачі. Отже, щоб розв'язати складену задачу, потрібно її розкласти на прості задачі і до кожної знайти відповідь.