Тема 9. Прямая на плоскости.
Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.
Определение. Любой вектор (не равный нулевому), перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором или вектором нормали этой прямой.
Пусть некоторая прямая проходит через точку М0 (x0 , y0 ) перпендикулярно вектору n(A, B). Выберем на прямой произвольную точку M (x, y) (рис. 9.1.). Точка M принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы M 0M (x − x0 , y − y0 ) и n перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю:
|
|
n = 0 |
|
||
|
M 0M |
|
|||
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 |
(9.1.) |
||||
n |
|
|
M |
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
Рис.9.1. Прямая линия, проходящая через точку M 0 |
|
||||
перпендикулярно вектору |
n |
|
|||
Уравнение (9.1) представляет уравнение прямой, |
проходящей через точку M (x0 , y0 ) |
перпендикулярно вект ору |
|||
n(A, B) .
Обозначив в (9.1) C = −By0 − Ax0 , получим уравнение |
|
Ax + By +C = 0 , |
(9.2) |
которое называется общим уравнением прямой на плоскости. Поскольку вектор n(A, B) не нулевой, то коэффициенты A и
B не равны нулю одновременно (A2 + B2 > 0 ). Если прямая задана с помощью общего уравнения (9.2), то вектор n(A, B) будет являться вектором нормали для данной прямой.
82
Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:
1.C = 0, A B ≠ 0, прямая определяется уравнением Ax + By = 0 и проходит через начало координат.
2.A = 0 , B C ≠ 0 , прямая определяется уравнением By +C = 0, т.е. y = −CB , параллельна оси Ox.
|
|
|
C |
3. |
B = 0, A C ≠ 0, прямая определяется уравнением Ax +C = 0, т.е. |
x = − A , параллельна оси Oy. |
|
4. |
B = C = 0, |
A ≠ 0 , прямая определяется уравнением Ax = 0, т.е. x = 0, совпадает с осью Oy. |
|
5. |
A = C = 0, |
B ≠ 0 , прямая определяется уравнением By = 0 , т.е. |
y = 0, совпадает с осью Ox. |
Пример 9.1. Построить прямые L1 : 2x −3y + 6 = 0; L2 : 2x + 4y = 0 ; L3 :3x −9 = 0; L4 : y + 4 = 0 .
L1 : При x = 0 в первом уравнении остаётся −3y + 6 = 0 , откуда 3y = 6, y = 2. Значит прямая проходит через точку (0;2). При y = 0 получаем 2x + 6 = 0 , x = −3, т.е. прямая пересекает ось Ох в точке (−3;0) . Остается провести прямую через найденные точки (0;2) и (−3;0) .
L2 : Прямая 2x + 4y = 0 проходит через начало координат. Пусть x = 2. Тогда 2 2 + 4y = 0, т.е. y +1 = 0 и y = −1. Это значит, что прямая проходит через точку (2;−1). Остается провести прямую через две точки (0;0) и (2;−1).
L3 : Из уравнения прямой получаем x =3 . Эта прямая параллельна оси Оу и проходит через точку (3;0).
L4 : Аналогично получаем y = −4 и, следовательно, прямая проходит через точку (0;−4) параллельно оси Ох. Графики данных прямых представлены на рис.9.2.►
83
|
y |
L3 |
|
|
5 |
L1 |
|
L2 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
-5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 |
х |
|
|
-2 |
|
|
|
-3 |
|
L4 |
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
Рис.9.2. Рисунок к примеру 9.1.
Пример 9.2. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку M (2;3) перпендикулярно вектору n = (2;−5) . ◄ Уравнение прямой будем искать в виде (9.1):
2(x − 2) −5(y −3) = 0.
Упрощая данное выражение, получим
2x −5y +11 = 0 .►
Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Пусть некоторая прямая проходит через точку М0 (x0 , y0 ) параллельно вектору a(l, m) (см.рис.9.3). Рассмотрим
произвольную точку на этой прямой M (x, y) . Точка M принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы M 0M (x − x0 , y − y0 ) и a коллинеарны, т.е. M 0 M = ta , где t-параметр (−∞ < t < ∞), который определяет положение точки
M (x, y) на прямой. Из равенства |
|
= ta получаем параметрические уравнения прямой: |
|
|
M 0 M |
|
|||
|
|
x = x0 |
+t l |
(9.3) |
|
|
|
+t m |
|
|
|
y = y0 |
|
|
|
|
|
|
84 |
a |
M |
|
|
M0 |
|
Рис.9.3. Прямая линия, проходящая через точку M 0
параллельно вектору a .
Разрешая уравнения в системе (9.3) относительно t и приравнивая полученные отношения, приходим к каноническому
уравнению прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
(9.4) |
|
|
l |
m |
||||
|
|
|
|
|||
Пусть прямая проходит через две точки M1 (x1, y1 ), M 2 (x2 , y2 ). Вектор |
|
= (x2 − x1, y2 − y1 ) может быть |
||||
M1M 2 |
||||||
направляющим вектором данной прямой. Тогда параметрические уравнения и каноническое уравнение прямой в этом случае будут иметь вид:
x = (1−t)x1 |
+tx2 |
|
x − x |
y − y |
|
||
|
+ty2 |
, |
1 |
= |
1 |
. |
(9.5) |
|
|
||||||
y = (1−t)y1 |
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
|
|||
Вид параметрических и канонического уравнения прямой определяется неоднозначно, поскольку, во-первых, можно
произвольно выбрать точку на прямой, во-вторых, координаты направляющего вектора определены с |
точностью до общего |
||
множителя. |
|
|
|
Пример 9.3. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1;−5) |
параллельно вектору |
||
a(−3;4) . |
|
|
|
◄ Для написания параметрических уравнений прямой воспользуемся формулами (9.3): |
|
||
x =1−3t |
|
.► |
|
|
4t |
|
|
y = −5 + |
|
|
|
Пример 9.4. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (1;−5) параллельно вектору a(−3;4) .
◄Для написания канонического уравнения прямой воспользуемся формулой (9.4):
85
(x−−31) = y 4+ 5 .►
Пример 9.5. Написать параметрические и каноническое уравнения прямой, проходящей через точки M1(9;−2) и
M 2 (1;4).
◄Для написания параметрических уравнений прямой воспользуемся первой из формул (9.3):
|
|
|
x =9(1 −t) + t |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а каноническоговторой из формул (9.3): |
|
y = −2(1 −t) + 4t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x −9 |
= |
y + 2 |
или |
x −9 |
= |
y + 2 |
.► |
||
|
1 −9 |
|
−8 |
|
|
|
||||
|
4 + 2 |
|
|
|
6 |
|
||||
Пример 9.6. Даны вершины треугольника A(−3;1), B(−2;5),C(4;1) . Написать каноническое уравнение медианы AM .
◄По формулам, приведенным в таблице 7.2 найдем координаты точки M -середины BC :
xM |
= |
xB + xC |
= |
|
− 2 + 4 |
=1 |
yM = |
yB + yC |
|
= |
5 +1 |
=3. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
Далее воспользуемся формулой (9.3) для написания уравнения медианы, проходящей через точки A(−3;1) и M (1;3) : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x + 3 |
= |
y −1 |
|
или |
|
x + 3 |
= |
y −1 |
.► |
|
||||||
|
|
1 + 3 |
|
3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Перейдем от канонического уравнения прямой (9.4) к общему уравнению. Умножим равенство (9.4) на lm:
(x − x0 )m = (y − y0 )l mx −ly − mx0 + ly0 = 0 .
Введя обозначения A = m, B = −l , C = −mx0 + ly0 , получим общее уравнение прямой (9.2). Вектор n(m,−l) является
нормальным вектором для данной прямой.
Пример 9.7. Даны вершины треугольника A(−3;1), B(−2;5),C(4;1) . Написать каноническое и общее уравнение высоты
AН .
◄ Запишем координаты вектора BC = (6;−4) . Рассмотрим вектор n(4;6) , перпендикулярный BC . Этот вектор является направляющим для высоты AН , поэтому ее каноническое уравнение может быть записано в виде:
86
|
|
|
|
|
x + 3 = y −1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
Умножим это уравнение на 12, перенесем все влево от знака равенства, упростим выражение и в результате получим |
|
||||||||
общее уравнение высоты AН : |
|
|
3x − 2y +11 = 0 .► |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение прямой (9.2) можно представить в «отрезках»: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
+ y |
=1, |
(9.6) |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
где a = −C / A, b = −C / B . Прямая, заданная уравнением (9.6) пересекает оси координат в точках (a,0) и (0,b) (cм.рис 9.4.). |
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
О |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
О |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.4. График прямой линии, |
Рис. 9.5. График прямой линии, |
|
|||||
|
|
заданной уравнением (9.6). |
|
заданной уравнением (9.7). |
|
||||
Из уравнения (9.4) выразим y : |
|
y = kx +b , |
(9.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
где k = m |
, |
b = y0 −kx0 . Уравнение (9.7) |
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Параметр k равен |
||||||
l |
угла ϕ ( k = tgϕ ) наклона прямой к |
оси Ox, |
а параметр b- ордината точки пересечения прямой с осью |
Оy |
|||||
тангенсу |
|||||||||
(см.рис.9.5.). |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Умножим общее уравнение прямой (9.2) на нормирующий множитель t = ± |
|
||||||||
A2 + B2 со знаком «+», если С < 0 |
, и |
||||||||
знаком «-» в противном случае. |
Вводя обозначения: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
tA = cosϕ, tB = sinϕ, tC = −p ,
получим нормированное уравнение прямой: |
|
x cosϕ + y sinϕ − p = 0 . |
(9.8) |
Здесь нормальный вектор к прямой (9.8) единичной длины, имеет координаты n(cosϕ,sinϕ), где ϕ - угол между вектором n и осью Ох, а p равно расстоянию от начала координат до этой прямой (см. рис. 9.6.).
y 
p
|
n ϕ |
0 |
x |
|
Рис.9.6. График прямой линии, заданной уравнением (9.8.)
Используя нормированный вид уравнения прямой (9.8) можно получить формулу для вычисления расстояния до нее от произвольной точки M 0 (x0 , y0 ) до прямой:
d = x0 cosϕ + y0 sinϕ − p
Если прямая задана общим уравнением Ax + By +C = 0 , то расстояние до нее от точки M 0 (x0 , y0 ) |
можно найти по |
||||||||
формуле: |
|
||||||||
d = |
|
|
Ax0 + By0 + C |
|
|
. |
(9.9) |
||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
||||
Пример 9.8. Найти расстояние от точки M (3;2) до прямой 4x −3y +1 = 0 . |
|
||||||||
◄Найдем требуемое расстояние d , используя формулу (9.9.):
d = |
|
|
4 3 −3 2 +1 |
|
|
= |
7 |
=1.4 .► |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
|
|
42 + (−3)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
88
Пусть даны две прямые. Угол между ними равен углу между их направляющими векторами, нормальными векторами или разности углов наклона этих прямых к оси Ох. Формулы для определения угла ϕ между двумя прямыми L1 и L2 при
разных вариантах задания этих прямых, представлены в таблице 9.1.
Таблица 9.1.
Уравнение прямой L1 |
Уравнение прямой L2 |
Соотношение для угла ϕ |
||
между прямыми L1 |
и L2 |
|||
|
|
|||
A1x + B1 y + C1 = 0 |
A2 x + B2 y + C2 = 0 |
cosϕ = |
|
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A2 |
+ B2 |
|
A2 |
+ B |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
x − x |
y − y |
|
x − x |
|
|
y − y |
|
|
cosϕ = |
|
|
|
l1l2 + m1m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
= |
1 |
|
|
|
2 |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
l1 |
m1 |
|
l2 |
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
+ m2 |
l2 + m2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
y = k1x + b1 |
|
y = k2 x + b2 |
|
|
|
tgϕ = |
|
k1 − k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + k1 k2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Условия параллельности (ϕ = 0) и перпендикулярности (ϕ =π / 2 ) этих прямых, которые можно получить из формул,
представленных выше, представлены в таблице 9.2.
Таблица 9.2.
|
Уравнение |
|
Уравнение |
Условие |
Условие |
|||||||||||||
|
|
параллельности |
перпендикулярности |
|||||||||||||||
|
прямой L1 |
|
прямой L2 |
|||||||||||||||
|
|
прямых L1 и L2 |
прямых L1 и L2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A1x + B1 y +C1 = 0 |
A2 x + B2 y +C2 = 0 |
|
|
A1 |
= |
|
B1 |
|
A1 A2 + B1 B2 = 0 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|||||
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
|
x − x2 |
= |
y − y2 |
|
|
|
l1 |
= |
m1 |
|
l1 l2 + m1 m2 = 0 |
||
|
l1 |
m1 |
|
l2 |
m2 |
|
|
|
m2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|||||||||||
|
y = k1x + b1 |
|
y = k2 x + b2 |
|
|
k1 = k2 |
1 + k1 k2 = 0 |
|||||||||||
Пример 9.9. Найти угол между прямыми 3x + 2y −1 = 0 и 5x − y + 4 = 0.
◄ Прямые заданы с помощью общего уравнения, поэтому для нахождения угла между ними воспользуемся следующей формулой, данной в таблице 9.1.:
89
|
|
A1 A2 + B1B2 |
|
|
|
3 5 + 2 (−1) |
|
|
13 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
cosϕ = |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
2 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
A12 + B12 |
A22 + B22 |
32 + 22 |
52 + (−1)2 |
13 |
26 |
2 |
||||||||||||||||||||
Следовательно, ϕ =π / 4.► Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну
общую точку, которая называется центром пучка. |
|
Если M 0 (x0 , y0 ) -центр пучка, то уравнение пучка можно задать следующим образом: |
|
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 , |
(9.10) |
где A и B –действительные числа, A2 + B2 > 0.
Уравнение пучка прямых, центром которого служит точка пересечения прямых A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0
имеет вид: |
|
α(A1x + B1 y + C1) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0 . |
(9.11) |
где α и β –действительные числа, α2 + β 2 > 0 .
Пример 9.10. Через точку пересечения прямых 2x + 2y-5 = 0 и 4x-3y + 2 = 0 провести прямую, параллельную оси x.
◄ Уравнение |
такой прямой |
должно |
иметь |
равный |
нулю коэффициент при |
x. Поэтому |
из пучка прямых |
|
A(2x + 2y-5) + B(4x-3y + 2) = |
0 надо выделить прямую с 2A + 4B = 0 , то естьA = -2B . Эта прямая получается, например, при |
|||||||
A = -2, B =1 и есть −7 y +12 |
= 0.► |
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
взаимное расположение |
двух |
прямых |
на плоскости, заданных |
с помощью |
общих уравнений |
||
A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 |
= 0 с точки зрения линейной алгебры. |
|
|
|||||
Если прямые пересекаются, то они имеют одну общую точку. Это значит, что система двух уравнений, составленная из уравнений данных прямых:
A x + B y +C = 0 |
(9.12) |
||
1 |
1 |
1 |
|
A2 x + B2 y +C2 = 0 |
|
||
90
имеет |
|
|
A |
B |
|
|
A |
B |
|
C |
|
|
= 2 . Это значит, что |
||||
|
|
||||||||||||||||
единственное решение. По теореме Кронекера-Капелли r |
1 |
B |
1 |
|
= r |
1 |
B |
1 |
|
C |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
|
A |
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
A1 |
B1 |
|
≠ 0 и соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
≠ |
|
B1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
=1, |
|
A |
||||
|
|
Если прямые параллельны, то система (9.12) несовместная. В этом случае r |
|
|
1 |
B |
1 |
|
r |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
|
|
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||
значит, что |
|
A1 |
B1 |
|
= 0 , |
|
|
|
A1 |
|
С1 |
|
|
≠ 0 и соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
B |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
B1 |
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
≠ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Если |
|
|
прямые |
|
совпадают, |
то система (9.12) совместная |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
неопределенная. |
||||||||||||||||||||||||||
|
A |
B |
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
1 |
B |
1 |
|
= r |
1 |
|
|
|
B |
1 |
|
|
|
C |
=1, следовательно, коэффициенты уравнений прямых пропорциональны |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
2 |
|
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
= |
|
B1 |
= |
C1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
2 |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пример 9.11 Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) |
|
2x −3y + 5 = 0 , |
|
4x −5y +10 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
б) |
|
2x −3y + 5 = 0 , |
|
4x − 6y + 7 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
в) |
|
2x −3y + 5 = 0 , |
|
4x − 6y +10 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(9.13) |
B |
|
C |
|
= 2 . Это |
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
B2 |
|
C2 |
|
|
|
|
|
(9.14)
Вэтом случае
(9.15)
91
◄а) Отношение коэффициентов при x равно 24 = 12 , а при y равно −−53 = 53 . Эти отношения различны, поэтому
рассматриваемые прямые пересекаются (см. 9.13).
б) В этом случае отношения коэффициентов удовлетворяют соотношению
|
|
|
2 = |
|
−3 |
≠ 5 , |
|
|
|||
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|||
Поэтому рассматриваемые прямые параллельны (см. 9.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
Здесь отношения коэффициентов удовлетворяют соотношению |
|
|
||||||||
|
|
|
2 = |
−3 |
|
= |
5 |
, |
|
|
|
|
|
|
4 |
− 6 |
10 |
|
|
|
|||
Поэтому рассматриваемые прямые совпадают (см. 9.15).► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Всякая прямая |
Ax + By + C = 0 |
делит плоскость |
|
на |
две полуплоскости. В одной из них для всех точек |
||||||
верно Ax + By + C > 0 , а |
для другой Ax + By + C < 0. Первая называется |
положительной полуплоскостью, а вторая – |
|||||||||
отрицательной полуплоскостью относительно прямой |
Ax + By +C = 0 . В частности, начало |
координат принадлежит |
|||||||||
положительной полуплоскости прямой Ax + By +C = 0 только тогда, когда С>0. |
|
||||||||||
Пример 9.12. Какие из точек |
A(2;1), B(−3;1),C(4;2) |
лежат на |
прямой 2x −5y + 2 = 0 ? |
в отрицательной или |
|||||||
положительной полуплоскостях этой прямой?
◄Вычислим значение выражения 2x −5y + 2, подставив в него вместо x и y координаты точек A,B,C:
A(2;1) : 2x −5y + 2 = 2 2 −5 1 + 2 =1 > 0 , поэтому точка A принадлежит положительной полуплоскости относительно прямой 2x −5y + 2 = 0 .
B(−3;1) : 2x −5y + 2 = 2 (−3) −5 1 + 2 = −9 < 0 , поэтому точка B принадлежит отрицательной полуплоскости относительно прямой 2x −5y + 2 = 0 .
C(4;2) : 2x −5y + 2 = 2 4 −5 2 + 2 = 0, поэтому точка С лежит на прямой 2x −5y + 2 = 0 .►.
НАЧАЛО ТЕМЫ |
СОДЕРЖАНИЕ |
92