Раздел 4. Матричный анализ.

Тема 12. Векторные пространства.

Определение. Множество V элементов x,y,z,… называется линейным пространством, если для любых двух элементов x,y из V определена их сумма x + y V и для любого действительного числа α и любого элемента x из V

определено произведение αx V , причем для любых элементов x,y,z V и любых действительных чисел α, β справедливы

5)α(βx) = (αβ)x ;

6)1 x = x ;

7)существует нулевой элемент 0 V такой, что x + 0 = x для любого x V ;

8)для каждого элемента x существует противоположный элемент − x такой, что x + (−x) = 0 .

Линейное пространство могут образовывать элементы любой природы. Например, совокупность матриц размером m × n образует линейное пространство, поскольку для них определены правила суммы матриц и умножения матрицы на действительное число, удовлетворяющие аксиомам 1-8. Также, например, линейное пространство образует множество всех решений системы линейных однородных уравнений.

Легко доказать следующие утверждения:

•в каждом линейном пространстве существует только один нулевой вектор;

•для каждого элемента линейного пространства существует только один противоположный элемент;

•для каждого элемента x линейного пространства верно 0 x = 0.

Определение. n -мерным вектором называется упорядоченный набор n действительных чисел. Числа, составляющие вектор, называются координатами или компонентами.

Вектор записывается в виде:

x = (x1, x2 , ... , xn ) ,

111

где x1, x2 , ... , xn -координаты вектора.

В определении вектора при n = 2 или n =3 совокупность чисел можно интерпретировать как совокупность координат вектора на плоскости или в пространстве.

Определение. Два n -мерных вектора x = (x1, x2 , ... , xn ) и y = (y1, y2 , ... , yn ) называются равными, если равны все компоненты векторов, т.е. xi = yi , (i=1..n).

Определение. Суммой двух векторов x = (x1, x2 , ... , xn ) и y = (y1, y2 , ... , yn ) называется вектор z=x+y, компоненты которого равны zi = xi + yi , (i=1..n).

Определение. Произведением вектора x на действительное число λ называется вектор y = λx , компоненты которого равны yi = λxi , (i=1..n).

Пусть роль нуля играет нулевой вектор

0 = (0,0,...,0) ,

а противоположного вектора для x = (x1, x2 , ... , xn ) - вектор

− x = (−1) x = (−x1, − x2 , ... , − xn ) .

Данные операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют аксиомам (12.1), поэтому совокупность n -мерных векторов образует линейное пространство. Множество n -мерных векторов называют также

линейным векторным пространством.

Определение. Линейной комбинацией векторов a1 ,a2 ,...,ak называется вектор вида

λ1a1 + λ2a2 +... + λk ak ,

где λ1,λ2 ,...,λk -действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и называется нетривиальной в противном случае.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Для линейно независимой системы векторов только ее тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору. Система векторов, среди которых есть нулевой вектор, всегда линейно зависима.

Если часть векторов некоторой системы векторов является линейно зависимой, то и вся система векторов является линейно зависимой.

112

Теорема. Система векторов (число векторов ≥2) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из системы векторов является линейной комбинацией остальных.

Векторы можно рассматривать как матрицы-строки или как матрицы-столбцы, а строки и столбцы матрицы как векторы.

Тогда вопрос о линейной зависимости некоторой системы векторов можно рассматривать как вопрос о линейной зависимости строк или столбцов соответствующей матрицы, т.е. о ее ранге (см. тему 4).

Определение. Линейное пространство называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n +1) векторов уже являются зависимыми. Число n называется размерностью пространства.

Пример 12.1. Определить размерность множества векторов на плоскости.

◄Рассмотрим произвольные два неколлинеарных вектора a = (a1 , a2 ) и b = (b1 ,b2 ) . Составим из компонент данных

неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Рассмотрим три произвольных вектора a = (a1 , a2 ), b = (b1 ,b2 ) и

матрицы B линейно зависимы и соответственно линейно зависимы и векторы a, b и с. Следовательно, размерность такого линейного векторного пространства равна двум. ►

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного пространства называется базисом. Пример 12.2. Показать, что n -мерные векторы x = (x1, x2 ,..., xn ) образуют n -мерное линейное пространство, базисом

которого может быть совокупность векторов e1 = (1;0;0;...0) , e2 = (0;1;0;...0) ,…..,en = (0;0;0;...1) .

◄ Векторы e1 ,e2 ,...,.en линейно независимы, поскольку ранг матрицы, составленной из компонент данных векторов равен n :

113

Теорема (основная теорема о базисе). Каждый вектор линейного пространства единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть e1,e2 ,...,.en образуют базис некоторого n-мерного линейного пространства V . Тогда, в силу основной теоремы, вектор x V можно единственным образом записать в виде:

x = x1e1 + x2e2 +.... + xnen

Числа x1, x2 ,..., xn называются координатами вектора x в базисе e1 ,e2 ,...,.en .

Пусть e1 ,e2 ,...,en и e1′,e′2 ,...,e′n – два базиса в n-мерном пространстве. Будем называть их старым и новым соответственно. Пусть каждый вектор нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

114

Матрица T называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису. Заметим, что коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы матрицы перехода.

Для определения координат вектора x в новом базисе воспользуемся формулой (12.8)

Следовательно, в новом базисе искомый вектор имеет вид x = 2e1′ − e′2 .►

116