Тема 6. Решение систем линейных уравнений в общем случае.

Рассмотрим решение системы m линейных уравнений с n переменными в общем виде. Вопрос о разрешимости произвольной системы рассматривается в следующих теоремах.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Теорема. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение. Теорема. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное

множество решений.

Решение произвольных систем линейных уравнений основано на методе Гаусса и рассмотрено ниже. А пока приведем результаты приведенных теорем в виде схемы на рис.6.1.

Система m линейных уравнений

с n неизвестными

AX = B

Рис.6.1. Схема произвольной системы линейных уравнений.

53

При решении произвольной системы в первую очередь нужно выяснить ее совместность. Для этого нужно расширенную матрицу исходной системы с помощью элементарных преобразований (A | B) привести к ступенчатому виду

(A1 | B1 ). Затем найти ранги матрицы (A1 ) и (A1 | B1 ), которые равны соответственно рангам матриц (A) и (A | B), т.е.

Определение. Переменные называются базисными (основными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля.

Поскольку матрица может иметь несколько базисных миноров, то возможны варианты выбора базисных переменных. Итак, из всех переменных выделяют r базисных или основных переменных. Остальные n − r переменных называются свободными или неосновными. Для того, чтобы выразить базисные переменные через свободные, далее в матрице (A1 | B1 )

матрицу коэффициентов при базисных переменных приводят к единичной матрице (здесь используют идеи метода Гаусса). От получившейся матрицы затем переходят обратно к системе линейных уравнений. Затем базисные переменные оставляют слева от знаков равенства, а свободные переменные переносят вправо, т.е. выражают базисные переменные через свободные переменные. Свободным переменным присваивают значения произвольных констант. Базисные переменные будут равны выражениям, зависящим от этих констант. Назначая определенные значения этим константам, получаются решения исходной системы. Поскольку вводимые константы могут принимать бесконечное число значений, то решений также будет бесконечное множество.

Определение. Общим решением неопределенной системы линейных уравнений называется такое решение системы, из которого можно получить все возможные решения изменением произвольных констант.

54

переменной можно взять как x1 , так и x2 , поскольку определитель матрицы из коэффициентов при них 3 ≠ 0 и 2 ≠ 0 соответственно. Пусть базисной переменной будет x1 , тогда x2 -свободная переменная.

Приведем матрицу коэффициентов при базисной переменной к единичной матрице первого порядка (r =1, E1 = (1) ):

От получившейся матрицы перейдем к системе линейных уравнений. Поскольку последняя матрица имеет нулевую строку, то второе уравнение можно не писать, т.е.:

x1 + 2/3x2 =3

Базисную переменную оставляем слева от знака равенства, а свободную переносим вправо, т.е. выражаем базисную переменную через свободную:

x1 =3 − 2/3x2

Свободной переменной присваиваем произвольные значения:

х2 = с.

Следовательно, общее решение системы имеет вид:

x1 =3 − 2/3с. ►

x = с2

x1 + x2 + x3 =3

Пример 6.4. Исследовать систему уравнений 2x1 − x2 + x3 = 2 и найти решение, если возможно.

x1 + 4x2 + 2x3 =5

◄ Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования:

57

◄ Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования:

решений. Здесь будет две базисных переменных (r = 2) и одна свободная переменная (n − r =3 − 2 =1). В качестве

58

x3 -свободная переменная.

Приведем матрицу коэффициентов при базисных переменных к единичной матрице второго порядка:

От получившейся матрицы перейдем к системе линейных уравнений. Поскольку последняя матрица имеет нулевую строку, то третье уравнение можно не писать, т.е.:

x1 − 2x3 =3x2 −5x3 =8

Базисные переменные оставляем слева от знака равенства, а свободную переносим вправо, т.е. выражаем базисные переменные через свободную:

x1 =3 + 2x3x2 =8 + 5x3

Свободной переменной присваиваем произвольные значения:

х3 = с.

Следовательно, общее решение системы имеет вид:

x1 =3 + 2c

x2 =8 + 5c.►x3 = c

Пример 6.6. Исследовать систему уравнений и найти решение, если возможно:

59

Поэтому r = r(A) = r(A | B) = 2 и r < 4 (меньше числа переменных), поэтому система имеет бесконечное множество решений. Здесь будет две базисных переменных (r = 2) и две свободных переменных (n − r = 4 − 2 = 2 ). В качестве

x3 , x4 -свободные переменные.

Приведем матрицу коэффициентов при базисных переменных к единичной матрице второго порядка:

60

От получившейся матрицы перейдем к системе линейных уравнений. Поскольку последние две строки матрицы нулевые, то третье и четвертое уравнение можно не писать, т.е.:

Затем базисные переменные оставляем слева от знака равенства, а свободные переносим вправо и свободным переменным присваиваем произвольные значения, т.е. находим общее решение системы:

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю и неоднородной в противном случае.

Однородная система имеет вид:

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение:

x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

•Если решение однородной системы умножить на любое действительное число, то получится решение той же самой системы.

•Сумма двух решений однородной системы является решением этой же системы.

61

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Фундаментальной системой решений называется

Определение. Система линейно независимых решений X1, X 2 ,..., X k однородной системы линейных уравнений

называется фундаментальной, если каждое решение исходной системы является их линейной комбинацией.

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных однородной системы линейных уравнений меньше числа переменных n, то всякая её фундаментальная система решений состоит из n-r решений.

Итак, общее решение однородной системы имеет вид

с1 X1 + с2 X 2 +... + сk X k

где X1, X 2 ,..., X k -любая фундаментальная система решений, с1,с2 ,...,сk -произвольные числа; k = n − r . Поэтому проблема

нахождения общего решения однородной системы линейных уравнений сводится к отысканию ее фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений однородной системы также, как и в случае неоднородной системы, ее r базисных переменных выражают через свободные переменные. Затем поочередно заменяют n − r свободных переменных элементами каждой строки единичной квадратной матрицы порядка n − r (этим достигается линейная независимость векторов) и находят соответствующие значения базисных переменных. Из полученных значений переменных формируют вектора.

Пример 6.7. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы:

◄ Заметим, что левая часть системы взята из примера 6.6. Сначала матрицу коэффициентов при неизвестных приведем к ступенчатому виду (как и в примере 6.6):

62

От получившейся матрицы перейдем к системе линейных уравнений и выразим базисные переменные через свободные:

x1 =8x3 − 7x4x2 = −6x3 + 5x4

Общее решение системы имеет вид:

63

Теорема. Общее решение системы линейных уравнений AX = B равно сумме общего решения соответствующей ей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения исходной системы AX = B :

X = XЧ + с1 X1 + с2 X 2 +... + сk X k ,

где X и XЧ -соответственно общее и частное решения системы AX = B , X1, X 2 ,..., X k -любая фундаментальная система

решений системы AX = 0 .

Пример 6.8. Убедиться в справедливости теоремы об общем решении системы линейных уравнений для данных из

В примере 6.7. была получена фундаментальная система решений (6.1) соответствующей однородной системы уравнений.

Следовательно, согласно последней теореме:

64

Последнее выражение совпадает с общим решением, полученным в примере 6.6. Но в общем случае решения неоднородной системы, полученные описанными выше двумя способами, визуально могут и не совпадать. ►

65