Тема 3. Обратная матрица.

Определение. Матрица A−1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

A A−1 = A−1 A = E .

Заметим, что обратная матрица определена для квадратной матрицы; в этом случае обратная матрица также является квадратной, причем того же порядка. Для матриц, не являющихся квадратными, обратные матрицы не существуют.

Определение. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля и вырожденной – в противном случае.

матрицы.

Свойства обратных матриц:

1. (A−1 )−1 = A

22

2.A−1 = 1A

3.(A B)−1 = B−1 A−1

4.(A−1 )T = (AT )−1

5.(A−1 )m = (Am )−1

Определение. Присоединённой к квадратной матрице A называется квадратная матрица A~ того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы, транспонированной к матрице A.

Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, поскольку понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Для получения присоединенной матрицы к матрице A можно сначала найти матрицу AТ , затем алгебраические

дополнения всех элементов определителя матрицы AТ и составить из них матрицу. Можно также сначала найти алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы A, составить из них матрицу, а затем полученную матрицу транспонировать.

Алгоритм вычисления обратной матрицы A−1 с помощью присоединенной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы A . Если A = 0, то матрица A вырожденная и обратная матрица A−1 не существует. Если A ≠ 0, то матрица A невырожденная, и обратная матрица A−1 существует.

2.Находим алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы A и составляем из них матрицу (Aij ).

3.Транспонируем полученную матрицу, т.е находим присоединенную матрицу A~ .

4.Вычисляем обратную матрицу по формуле:

23

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы A−1 , исходя из ее определения: A A−1 = E или A−1 A = E .

Находим определитель исходной матрицы:

24

Находим определитель исходной матрицы:

Следовательно, матрица A невырожденная и обратная матрица A−1 существует. Находим алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы A:

25

Тогда по теореме Лапласа:

A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =3 (−8) + (−4) (−5) + 6 1 = 2 .

Определитель матрицы A отличен от нуля, следовательно, обратная матрица существует. Находим присоединенную матрицу:

27

Проверяем правильность вычисления обратной матрицы A−1 , исходя из определения:

Элементарные преобразования матрицы:

1.Перестановка строк (столбцов) матрицы.

2.Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на действительное число, не равное нулю.

3.Прибавление к каждому элементу какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число.

Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного

числа элементарных преобразований.

Для обозначения эквивалентности матриц применяется знак эквивалентности ~. Эквивалентность матриц А и В записывается следующим образом: A ~ B .

Алгоритм вычисления обратной матрицы A−1 с помощью элементарных преобразований:

1. Приписываем к исходной матрице A справа единичную матрицу того же порядка, разделяя их чертой:

28

(A | E).

2.С помощью элементарных преобразований или только строк или только столбцов приводим левую матрицу к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей: