Тема 11. Кривые второго порядка.

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка вида:

Т.е. центр окружности находится в точке A(2;0) , а ее радиус R =3.►

Пример 11.3. Написать уравнение окружности с центром в точке A(2;−5) , проходящей через точку B(6;−2) .

◄Найдем длину отрезка AB , равную радиусу окружности

R = AB = (6 − 2)2 + (−2 − (−5))2 =5 .

Следовательно, уравнение искомой окружности имеет вид:

(x − 2)2 + (y + 5)2 =52 .►

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси Ох симметрично относительно начала координат (рис.11.2). Тогда в этой системе координат уравнение эллипса имеет вид

Если в уравнении (11.3) a <b , то фокусы эллипса расположены на оси Oy симметрично относительно начала

координат. В этом случае

с2 =b2 − a2 ,ε = bc .

Уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, имеет вид

где (x0 , y0 ) -координаты центра эллипса.

Пример 11.4. Дано уравнение эллипса 25x2 + 48y2 =1200 . Найти длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса.

◄Запишем уравнение эллипса в каноническом виде, разделив обе его части на 1200:

Отсюда полуоси равны a = 43 , b =5. Далее воспользуемся соотношением (11.4):

c2 = (43)2 −52 = 48 − 25 = 23. Следовательно, фокусы эллипса имеют координаты F1(−23;0) , F2 (23;0).

Эксцентриситет эллипса равен ε = 4 233 = 0.7 .►

Пример 11.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось равна 3.

◄ Поскольку расстояние между фокусами равно 8, то 2с =8 и с = 4. Малая полуось равна 3, т.е. b = 3 . Из (11.4) находим a :

42 = a2 − 32 , a = 5 .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

x2 + y 2 =1.► 25 9

105

данной гиперболы располагаются на оси Ох симметрично относительно начала координат (рис.11.3). Тогда в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

Уравнение вида (11.5) называется каноническим уравнением гиперболы.

При указанном выборе системы координат оси координат являются осями гиперболы, а начало координат - центром гиперболы. Две точки пересечения гиперболы с одной из осей называются вершинами гиперболы. На рис. 11.3 вершинами

гиперболы являются точки A1(−a;0) и A2 (a;0). Асимптотами гиперболы является прямые y = ±ba x , к которым при

больших значениях x приближаются как угодно близко ветви гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы, а центр находится точке их пересечения, называется прямоугольником гиперболы. Величины a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, 2a и 2b называют соответственно действительной и мнимой осями.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина ε = aс . Так как с > a , то для гиперболы ε >1.

Гипербола, симметричная относительно координатных осей, с фокусами, расположенными на оси Oy, описывается уравнением вида

В этом случае абсолютное значение разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равно 2b . Эксцентриситет этой гиперболы равен ε = bс, асимптоты определяются уравнениями y = ±ba x .

Две гиперболы, которые определяются уравнениями (11.5) и (11.7) называются сопряженными. Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат, имеет вид

107

где (x0 , y0 ) -координаты центра гиперболы.

Пример 11.8. Показать, что уравнение 9x2 −16y2 =144 является уравнением гиперболы. Найти длины ее полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет гиперболы, уравнения асимптот.

◄Разделив обе части уравнения на 144, получим:

Пример 11.9. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Oy симметрично началу координат и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 6.

◄ Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси Оу симметрично началу координат, то ее уравнение будем искать в виде (11.7). Согласно условию 2с =10, 2b = 6 т.е.с =5, b =3. Из (11.6) находим мнимую полуось

108

Рис.11.4. Парабола.

Координаты точки M (2;23) должны удовлетворять этому уравнению, поэтому a42 − 412a2 =1. Отсюда находим a2 =1. Следовательно, искомое уравнение гиперболы имеет вид:

x2 − y2 =1.►

1 4

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Пусть оси декартовой системы координат выбраны так, что ось Ox проходит через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и ее ветви направлены по направлению оси абсцисс; начало координат расположено посередине между фокусом и директрисой (рис.11.4). Тогда в этой системе координат уравнение параболы имеет вид

Парабола имеет одну ось и одну вершину, причем при указанном выше выборе координатной системы ось параболы

Если координатная система выбрана так, что ось Ox совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, но

уравнения параболы с вершиной в начале координат, ось которой совпадает с осью Oy, а ветви направлены по направлению оси ординат в случае (11.11) и в противоположном направлении в случае (11.12).

109

Уравнение параболы с осью, параллельной координатной оси Ox и ветвями, направленными по направлению оси абсцисс, имеет вид

(y − y0 )2 = 2 p(x − x0 ) ,

где (x0 , y0 ) -координаты вершины параболы. Аналогично можно записать уравнения других парабол с осью, параллельной

любой из осей координат с направлением ветвей, как совпадающим с осями координат, так и с противоположным направлением.

Пример 11.11. Дана парабола y2 = 4x . Написать уравнение ее директрисы и найти координаты ее фокуса.

◄Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы (11.8), видим, что 2 p = 4, p = 2. Уравнение

Пример 11.12. Написать уравнение параболы, расположенной симметрично относительно оси Ox, проходящей через точку A(6;6) , и имеющей вершину, находящуюся в начале координат.

◄ По условию задачи искомое уравнение параболы имеет вид y2 = 2 px . Так как точка A(6;6) лежит на параболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы, а поэтому 62 = 2 p 6 или p =3 . Следовательно, искомое уравнение параболы имеет вид y2 = 6x.►

Пример 11.13. Найти вершину, фокус и директрису параболы y = −2x2 + 4x − 4.

◄Преобразуем уравнение параболы, выделив в правой части полный квадрат:

y = −2x2 + 4x − 4 = −2(x2 − 2x) − 4 = −2(x2 − 2x +1) − 2 = −2(x −1)2 − 2.