- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Теоретико‑множественные основания дисциплины
- •1.1. Понятия и аксиомы теории множеств
- •1.2. Декартовы произведения, отношения и отношение эквивалентности
- •1.3. Понятия образа, прообраза, функции и отображения на конечном множестве. Аксиома выделения.
- •1.4. Аксиомы степени и бесконечности. Мощности и кардинальные числа множеств
- •1.5. Счетные и континуальные множества
- •1.6. Ординалы и трансфиниты. Аксиома выбора и континуум‑гипотеза
- •2. Основы математической логики
- •2.1. Высказывания и функции на высказываниях
- •2.2. Операции математической логики
- •2.3. Понятие формулы и свойства операций
- •2.4. Разложения булевых функций. Принцип двойственности. Совершенные нормальные формы.
- •2.5. Понятие полноты системы булевых функций
- •2.5. Исчисление предикатов
- •2.6. Введение в методы теории доказательств
- •1 Если X a,
- •0 Если X a.
- •1 Если X a,
- •0 Если X a.
- •3. Комбинаторика
- •3.1. Размещения
- •3.2. Размещения без повторений
- •3.3. Перестановки, подстановки и их свойства
- •3.4. Сочетания, структура соединений
- •3.5. Свойства биномиальных коэффициентов
- •Структура соединений
- •3.6. Понятие производящей функции
- •3.7. Соединения с повторениями
- •3.8. Разбиения множеств
- •3.9. Разбиения чисел
- •3.10. Композиции чисел
- •4. Основы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Графы и бинарные отношения
- •4.3. Понятие изоморфизма и изоморфизм плоских графов
- •4.4. Степени вершин графа
- •4.5. Представление графов матрицами
- •4.6. Представление графов списками инцидентности. Оценка пространственной сложности алгоритмов.
- •4.7. Маршруты, цепи, циклы и связность
- •4.7. Эйлеровы циклы и цепи
- •4.9. Гамильтоновы циклы. Оценка временной сложности алгоритмов
- •4.10. Деревья
- •4.11. Раскраска вершин и теорема Шеннона об информационной емкости графа
- •4.12. Раскраска ребер графа и теоремы о хроматическом классе
- •Ответы и решения
- •Список литературы
4.11. Раскраска вершин и теорема Шеннона об информационной емкости графа
Пусть дан граф G. Этот граф называется k‑раскрашиваемым, если существует такое разбиение множества его вершин на k классов
C1, C2, …, Ck, (4.9)
что все ребра в G соединяют вершины только из разных классов. Само такое разбиение называется k‑раскраской. При раскраске каждое ребро имеет две вершины необходимо разного цвета, а все вершины, относящиеся к одному и тому же классу, окрашены в один и тот же цвет.
Наименьшее число k классов раскраски называется хроматическим числом графа G. Если число способов раскраски графа равно хроматическому числу, то граф именуют k‑хроматическим, а классы (4.9) — хроматическим разложением G.
Теорема 4.12 Пусть G — связный неориентированный граф. Для того, чтобы граф был бихроматическим, необходимо и достаточно, чтобы он не имел циклов нечетной длины.
Необходимость. Предположим, что граф G — бихроматический и имеет хотя бы один цикл нечетной длины. Обходя этот цикл, мы будем иметь чередующиеся цвета смежных вершин. Поскольку число вершин в цикле нечетно, то дойдя до вершины, с которой начали обход цикла, получим, что она должна иметь цвет противоположной раскраски. Приходим к противоречию.
Достаточность. Произвольный граф G может быть раскрашен бихроматически следующим образом. Зафиксируем произвольную вершину V и раскрасим ее в один из двух различных цветов. Все смежные с ней вершины раскрасим в противоположный цвет и так далее, пока не раскрасим весь граф. Предположим, что при такой раскраске некоторая вершина V* оказалась раскрашена в два различных цвета. Тогда из V в V* существует две цепи: одна четной, а другая — нечетной длины. Эти две цепи образуют цикл нечетной длины. Приходим к противоречию, что и доказывает теорему.
В [5] показано, что если максимальная степень вершин графа G равна r, то граф G представляется r‑раскрашиваем, за исключением двух случаев:
при r = 2 граф G имеет компоненту связности, являющуюся циклом нечетной длины,
при r > 2 полный граф с r + 1 вершинами является компонентой связности графа G.
Пусть G — граф без петель и кратных ребер. Подмножество вершин S G называется внутренне устойчивым, если любые вершины v1,v2 S не смежные. Пусть A — семейство всех таких подмножеств. Числом внутренней устойчивости графа G называется величина
G) = maxS AS.
Теорема 4.13 Хроматическое число k(G) и число внутренней устойчивости G) связаны неравенством
V G)k(G)
для G = (V, E).
Доказательство. Правильно раскрасим вершины графа G в k(G) цветов. Тогда каждое множество вершин Vi, окрашенных в один и тот же цвет, внутренне устойчиво и следовательно, Vi G) и V = i Vi G)k(G).
Отображение множества V в себя называется сохранным, если для любой пары несмежных вершин v1 и v2 вершины (v1) и (v2) также несмежные и различны. Ясно, что сохранное отображение переводит всякое внутренне устойчивое множество во внутренне устойчивое.
Определим произведение графов G1 = (V1, E1) и G2(V2, E2) следующим образом. Под произведением G1G2, будем понимать граф, множеством вершин которого является декартово произведение V1V2, а вершины (v1, v2), (v1, v2) V1V2 смежные, если
v1 смежная с v1 в G1 и v2 cмежная с v2 в G2 либо
v1 смежная с v1, v2 = v2 либо
v1 = v1, а v2 смежная с v2.
Теорема 4.14 (Шеннон) Для любых двух графов G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2) имеем
G1)G2) G1G2),
но если для графа G1 существует сохранное отображение , такое, что множество (V1) внутренне устойчиво, то
G1)G2) = G1G2).
Доказательство. Если S1 и S2 наибольшие внутренне устойчивые множества для G1 и G2, то S1S2 — внутренне устойчиво и G1G2) S1S2 = S1S2 = G1)G2).
Пусть теперь ‑сохранное отображение для графа G и множество (V1) внутренне устойчиво. Для произвольных v V1 и v V2 обозначим f(v, v) = ((v), v). Пусть S0 —наибольшее внутренне устойчивое множество графа G1G2. Непосредственно проверяется, что f(S0) также внутренне устойчиво и f(S0) = S0. Распределим элементы из f(S0) по k классам в зависимости от элемента v в паре (v, v). Каждый класс содержит не более, чем G2) элементов. Следовательно, G1G2) = f(S0) kG2) G1)G2). Отсюда и вытекает доказываемое равенство.
Рассмотрим пример применения теоремы Шеннона к задаче об информационной емкости множества информационных сообщений.
Пусть по информационному каналу передается пять сообщений: v1, v2, v3, v4, v5. При приеме сообщение v1 может быть истолковано как v1 или v2, соответственно сообщение v2 как v2 или v3 и так далее, наконец, v5 — как v5 или v1. Какое наибольшее количество сообщений можно принять, не спутав друг с другом?
Задача сводится к нахождению наибольшего внутренне устойчивого множества S графа, который изображен на рисунке 4.14.
Очевидно, что здесь G) = 2 и можно считать, что S = (v1, v3) или S = (v1, v4) или S = (v3, v5 ) и т.д.
v1
v2 v5
v3 v4
Рисунок 4.14
Предположим, что мы будем использовать сообщения, определенные на GG. Тогда GG)(G2))2 4.
Построив для нашего примера внутренне устойчивое множество, получим
S = { v1,v1,v2,v3 , v3,v5, v4,v2, v5,v4}.
Видим, что в этом случае GG) = 5.
Информационной емкостью графа G называют число (G) = supn√Gn). Так как Gn) Vn = Vn, то (G) V.
Отсюда и из теоремы 4.14 следует, что если для графа G = (V,E) существует сохранное отображение , такое что множество (V) внутренне устойчиво, то для такого графа (G) = G).