![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Теоретико‑множественные основания дисциплины
- •1.1. Понятия и аксиомы теории множеств
- •1.2. Декартовы произведения, отношения и отношение эквивалентности
- •1.3. Понятия образа, прообраза, функции и отображения на конечном множестве. Аксиома выделения.
- •1.4. Аксиомы степени и бесконечности. Мощности и кардинальные числа множеств
- •1.5. Счетные и континуальные множества
- •1.6. Ординалы и трансфиниты. Аксиома выбора и континуум‑гипотеза
- •2. Основы математической логики
- •2.1. Высказывания и функции на высказываниях
- •2.2. Операции математической логики
- •2.3. Понятие формулы и свойства операций
- •2.4. Разложения булевых функций. Принцип двойственности. Совершенные нормальные формы.
- •2.5. Понятие полноты системы булевых функций
- •2.5. Исчисление предикатов
- •2.6. Введение в методы теории доказательств
- •1 Если X a,
- •0 Если X a.
- •1 Если X a,
- •0 Если X a.
- •3. Комбинаторика
- •3.1. Размещения
- •3.2. Размещения без повторений
- •3.3. Перестановки, подстановки и их свойства
- •3.4. Сочетания, структура соединений
- •3.5. Свойства биномиальных коэффициентов
- •Структура соединений
- •3.6. Понятие производящей функции
- •3.7. Соединения с повторениями
- •3.8. Разбиения множеств
- •3.9. Разбиения чисел
- •3.10. Композиции чисел
- •4. Основы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Графы и бинарные отношения
- •4.3. Понятие изоморфизма и изоморфизм плоских графов
- •4.4. Степени вершин графа
- •4.5. Представление графов матрицами
- •4.6. Представление графов списками инцидентности. Оценка пространственной сложности алгоритмов.
- •4.7. Маршруты, цепи, циклы и связность
- •4.7. Эйлеровы циклы и цепи
- •4.9. Гамильтоновы циклы. Оценка временной сложности алгоритмов
- •4.10. Деревья
- •4.11. Раскраска вершин и теорема Шеннона об информационной емкости графа
- •4.12. Раскраска ребер графа и теоремы о хроматическом классе
- •Ответы и решения
- •Список литературы
4. Основы теории графов
4.1. Основные понятия и определения
Пусть дано множество V = {v1, v2, …, vn} и в V определено семейство U = {u1, u2, …, um} пар элементов uk = {vi, vj}, (k = 1, m) произвольной кратности и упорядочения. Пара {V, U} именуется: граф. Графы, как правило, обозначают прописными латинскими буквами, например, G, H. Принято также писать G(V, U) для того, чтобы определить некоторый конкретный граф G.
Элементы v1, v2, …,vn называются вершинами графа, а пары uk = {vi, vj}, (k = 1, m) — ребрами.
Определению графа можно дать следующую интерпретацию. Пусть имеем описание графа:
G(V,Е) = {{ v1, v2, …, v6}, { { v1, v3 }, v5, v1, {v3, v4},
v2, v3, {v3, v3 }}}.
Это описание можно отобразить графически, как показано на рисунке 4.1. На этом рисунке некоторые ребра отмечены стрелкой, а соответствующие им пары вершин в описании графа выделены угловыми скобками. Это связано с тем, что для некоторого произвольного ребра можно принимать или не принимать во внимание порядок расположения его концов.
v1
v4
v2
V6
v3 v5
Рисунок 4.1
Если этот порядок не существенен, то ребро называется неориентированным, в противном случае ребро называется ориентированным. Ориентированные ребра называются также дугами.
Для ориентированного ребра определены понятия начальной и конечной вершины. Начальная вершина записывается в начале пары вершин, определяющих дугу,а конечная — в конце. Так на рисунке 4.1 ребра v5, v1 и v2, v3 являются дугами. Они представлены упорядоченными парами вершин и, в связи с этим, обозначены так же, как обозначаются упорядоченные множества.
Ребра {v1, v3}, {v3, v4} неориентированы. Для любого неориентированного ребра полагают, что {vi, vj} = {vj, vi} так же, как и в случае неупорядоченных множеств. Ребро {vi, vi} называется петлей. На рисунке 4.1 имеем петлю {v3, v3}. Петли обычно не ориентированы.
Граф, у которого все ребра неориентированы, называется неориентированным. Неориентированное ребро может быть эквивалентно паре ориентированных ребер, если это возможно по условию задачи.
Граф, у которого все ребра ориентированы, называется ориентированным или орграфом.
На рисунке 4.1 приведен смешанный граф, т.е. содержащий как ориентированные, так и неориентированные ребра и петлю.
Многие теоремы и определения в теории графов могут быть отнесены как к ориентированным, так и к неориентированным графам. В таких случаях для обозначения ребер применяют круглые скобки, например, ребро {v3, v4} в графе рисунок 4.1 можно обозначать (v3, v4) либо (v4, v3), а ребро v5, v1 — соответственно как (v5, v1), указав при этом, что данное ребро представляет дугу. Принято также обозначение всех ребер круглыми скобками как в случае ориентированных графов, так неориентированных, если совершенно ясно о каком из типов этих графов идет речь в тексте.
Некоторые вершины графа G могут не войти в список пар. Такие вершины именуются изолированными. В рассмотренном примере это вершина v6. Граф, у которого все вершины изолированы, именуется нуль‑графом. Множество ребер такого графа пусто.
Антиподом нуль‑графа является полный граф. Ребрами полного графа являются всевозможные пары его вершин.
Как в случае ориентированного графа, так и в случае неориентированного — говорят, что ребро инцидентно паре определяющих его вершин.
Одной и той же паре вершин можно поставить в соответствие множество инцидентных ребер. Такие ребра называются кратными. Так на рисунке 4.2 представлена пара вершин (vi, vj), инцидентных трем различным ребрам u1, u2, u3. Одно из них направлено, а два — нет.
u1
vi u2 vj
u3
Рисунок 4.2
Граф называется плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер есть его вершины. Так графы, представленные на рисунках 4.1 и 4.2 плоские. Примеры не плоских графов будут рассмотрены ниже в разделе 4.3.
Если граф G представлен конечным множеством ребер, то он называется конечным, независимо от числа вершин. В противном случае, граф называется бесконечным.
Граф H называется частью графа G или частичным графом H G, если множество его вершин V(H) содержится в множестве вершин V(G) графа G и все ребра H являются ребрами G. Частным, но важным типом частичных графов являются подграфы.
Пусть A — подмножество множества вершин V графа G. Подграф G(A) графа G есть такая часть графа, множеством вершин которого является A, а ребрами — все ребра из G, оба конца, которых лежат в A.
Для
любой частиH
графа определена дополнительная
часть H
(дополнение), состоящая
из всех тех ребер, которые не принадлежат
H и всех
инцидентных им вершин.