4.2. Графы и бинарные отношения

Пусть на множестве V = {a, b, c, …, z} задано бинарное отношение R. То есть определено множество U, упо­ря­доченных отношением R пар вершин.

Ясно, что любое такое отношение вместе с множе­ством V представляет некоторый граф G = (V, U).

Обратное, вообще говоря, не верно. Неоднозначность определяется тем, что на графах кратность ребер может быть задана произвольно, в то время, как на бинарном отношении кратность вводить не принято.

В остальном связь между графами и бинарными от­ношениями оказывается столь тесной, что представляет инте­рес ее отдельное рассмотрение.

Пусть на множестве V = {a, b, c, …} заданы отношение R и граф G = (V, U) так, что R определено на V_R  V и по­рождает U_R  U. То есть R выделяет часть графа Н  R.

Если R рефлексивно, то есть аRа а R, то U_R представляет множество петель на каждой из вершин V_R.

Если R симметрично, то есть аRb  bRa а  R, то ка­ждому ребру H соответствует ребро противоположной на­правленности, что может быть эквивалентно неориен­тиро­ванному графу.

Если R транзитивно, то H вместе с любыми дугами (a, b), (b, c)  U_R содержит и их замыкание (а, с).

Напомним, что отношение R, удовлетворяющее свой­ствам рефлексивности, симметричности и транзитив­ности яв­ляется отношением эквивалентности. Следова­тельно, если для графа G на множестве V определено отношение эк­вива­лентности R, то такой граф представляется прямой сум­мой полных графов — подграфов G, определенных на классах эквивалентностей. Так на рисунке 4.3 приведен граф G, пре­дстав­ленный прямой суммой трех полных подграфов G₁, G₂ и G₃.

G = G₁  G₂  G₃

v₁ v₆ v₇ v₉

G₁ G₂ G₃

v₂

v₃ v₅ v₈ v₁₀

Рисунок 4.3

Напомним, что отношение a  b, a, b  V называется частичным упо­рядочением в смысле «равно или следует за», если оно обла­дает следующими свойствами:

• a  а (рефлексивность);

• a  b и b  a  a = b (антисимметричность);

• a  b и b  c  a  c (транзитивность).

Из этих свойств следует, что если на множестве вер­шин графа G определено частичное упорядочение, то граф G имеет петли, любые его две вершины соединены дугой, а для каждой пары дуг, инцидентных одной и той же вершине, определена замыкающая их транзитивная дуга. Пример та­кого графа представлен на рисунке 4.4.

Если потребовать, чтобы отношение a > b имело стро­гую частичную упорядоченность, то a = b не имеет места и соответствующий граф представляется без петель.

v₁ v₄ v₆

  

  v₅

v₂ v₃

Рисунок 4.4

Если множество V упорядочить линейно, то станет справедливо только одно из соотношений a  b или b  а. Соответствующий граф представлен на рисунке 4.5.

v₁ v₂ v₃ v₄

Рисунок 4.5

Для любого отношения R существует обратное от­ношение R^-1 такое, что bR^-1a тогда и только тогда, когда aRb. Если R = R^-1, то такое отношение называется симметрическим.

Любое симметрическое отношение эквивалентно либо неориентированному графу либо графу, в котором каждой дуге соответствует дуга противоположной направленности.

Нулевому отношению отвечает нуль‑граф, универ­сальному отношению — полный граф.