18. Выборочная дисперсия

Найдем дисперсию средней выборочной

Получили

Дисперсия средней выборочной в n раз меньше дисперсии средней генеральной.Характеристики выборочной совокупности служат точечными оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности и т.к. M(X) =Ẋ ,то выборочная средняя является несмещенной точечной оценкой генеральной средней.

Из равенства (*) следует, что эта оценка является эффективной.

Формула (*) позволяет сделать заключение о зависимости точности повторной выборки от ее объема n и от генеральной дисперсии. Из формулы следует, что точность выборки возрастает с увеличением ее объема и выборка будет точнее из той г.с.,в которой дисперсия меньше

Замечание. Выборочная дисперсия является смещенной точечной оценкой ген дисперсии. Несмещенной точечной оценкой является исправленная дисперсия.

При достаточно больших n, n≥30, s²≈ D(X). Поэтому при решении задач вместо s² берут D(X).

Оценка Х состоятельная, с увеличением n она сходится по вероятности к постоянному числу, к средней генеральной .

17. Статистические гипотезы

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Стат-кие гипотезы классифицируют на гипотезы: 1) о законах распределения; 2)о параметрах распределения.

Например, гипотеза о том, что производительность труда рабочих, выполняющих одинаковую работу, имеет нормальное распределение, является гипотезой о законе распределения. Гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных станках, не различаются между собой, является гипотезой о параметрах распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой, рассматривают и противоположную ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Hₒ. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Пример. Нo-математическое ожидание нормально распределенной СВ X равно 10, а=10. Конкурирующая гипотеза Н₁: а10.

Различают гипотезы, которые содержат только одно предположение и более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если а — параметр показательного распределения, то гипотеза Н₀ : а = 5 простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, Н₍₎ : а > 5 состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида: а = b_i где b_i —любое число больше пяти.

12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.

Рассмотрим декомпозицию диспер-сий («правило сложения дисперсий»):

где – общая дисперсия,– дисперсия, кот. объясняет регрессию,– дисперсия ошибок.

В статистике различают: – общее отклонение,– отклонение, которое можно объяснить, исходя их регрессивной прямой,– отклонение, которое нельзя объяснить, исходя из регрессивной прямой.

Часть дисперсии, которая объясняет регрессию, называется коэффициентом детерминации, и обозначается R². Коэффициент детерминации используется как критерий адекватности модели, поскольку является мерой объясняющей силы независимой переменной х.

Следует, что 0≤R²≤1