3. Определения вероятности события

Для построения теории вероятностей, помимо уже введенных основных понятий (случайного эксперимента, случайного события), необходимо ввести еще одно основное понятие – вероятности случайного события.

Отметим, что представления о вероятности события и способах ее вычисления изменялись в ходе развития теории вероятностей. Еще в древнем мире было известно определение вероятности с качественной точки зрения.

Вероятностью случайного события называется численная мера объективной возможности появления события.

Однако способов вычисления вероятности вплоть до ХVII в. не было.

Количественное определение вероятности события впервые было дано в работах основоположников теории вероятностей, которые рассматривали случайные эксперименты, обладающие симметрией или объективной равновозможностью исходов. Эти случайные эксперименты были чаще всего искусственно организованы. В них предпринимались специальные методы для обеспечения равновозможности исходов. Применительно к таким случайным экспериментам в ХVII в. французским математиком Лапласом было сформулировано классическое определение вероятности.

3.1. Классическое определение вероятности

Классическое определение. Вероятностью события называется отношение числа событий, благоприятствующих событию , к общему числу единственно возможных, равновозможных и несовместных событий.

,

где вероятность события (первая буква англ. словаprobability-вероятность);

число событий, благоприятствующих событию A;

общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных событий.

Это определение до ХІХ века рассматривалось как единственное определение вероятности события. Отметим, что до настоящего времени классическое определение вероятности не потеряло своего значения, так как именно с его помощью легче всего познакомиться со свойствами вероятности и основными теоремами теории вероятностей.

Пример. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной монеты выпадет герб.

Решение. При бросании монеты возможны два исхода – появление герба и появление решки, причем эти события являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми, т.е. .

Обозначим через событие - событие, состоящее в том, что при бросании монеты появится герб. Тогда- число событий, благоприятствующих событию. Согласно классическому определению вероятности, находим

.

Пример. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной игральной кости появится а) четное числа очков на верхней грани, б) появится шесть очков на верхней грани.

Пример. Найти вероятность того, что при извлечении из тщательно перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, появится а) «дама», б) карта красой масти, в) червовая дама.

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна нулю

.

Доказательство.

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна единице

.

Доказательство.

Свойство 3. Вероятность любого события является неотрицательным числом, не превосходящим единицы

.

Доказательство.

Докажем две элементарные теоремы.

Теорема. Если события иэквивалентны между собой, то их вероятности равны, т.е.

.

Доказательство.

Теорема. Если событие влечет за собой событие, то вероятность событияне превосходит вероятности события

.

Доказательство.

Отметим, что применение классического определения вероятностей ограничено. Это объясняется следующими причинами:

1. число исходов испытания должно быть конечным;

2. исходы испытания должны быть равновозможными.

Преодоление первого ограничения при решении определенного круга задач привело к геометрическому определению вероятности, а преодоление второго ограничения привело к статистическому определению вероятности.