Лекция № 2 Напряжения в наклонных сечениях. Закон парности касательных напряжений
Рассмотрим стержень, нагруженный силой Р (рис. 3). В стержне проведём сечение, наклонное к продольной оси. Разложим действующую силу на две составляющие (перпендикулярную к наклонному сечению, расположенную в наклонном сечении).
Сила,
расположенная перпендикулярно к
наклонному сечению -
Площадь
сечения, наклонного к продольной оси -
Сила,
расположенная в наклонном сечении -
Нормальное напряжение в наклонном сечении:
Правило для нормального напряжения в наклонном сечении: нормальное напряжение в наклонном сечении равно нормальному напряжению в поперечном сечении, умноженному на квадрат косинуса угла наклона.
Исследование на максимум:
,
значит
Нормальное напряжение в наклонном сечении будет иметь максимальное значение, если угол наклона сечения будет равен нулю. Таким образом, максимальное нормальное напряжение будет совпадать с продольной осью стержня.
Рис. 3.
Напряжения в наклонных сечениях.
Касательное напряжение в наклонном сечении:
Правило для касательного напряжения в наклонном сечении: касательное напряжение в наклонном сечении равно половине нормального напряжения, умноженного на синус двойного угла.
Исследование на максимум:
,
значит
.
Касательное напряжение в наклонном сечении будет иметь максимальное значение и будет равно половине нормального напряжения, если угол наклона будет равен сорок пять градусов.
Закон парности касательных напряжений:
Известно, что касательные напряжения в наклонных площадках определяются по формуле:
Вычислим значение касательного напряжения на площадке, расположенной под углом 900 к наклонной площадке.
Значит
.
Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены навстречу друг другу, от ребра к ребру.
Рис. 4.
Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках.
Нормальные напряжения вызывают разрыв образца, касательные напряжения вызывают сдвиг кристаллов в образце.
Лекция № 3 Растяжение и сжатие
Основные понятия и зависимости
При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая NZилиN.
Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, называют стержнями.
Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными.
При растяжении продольная сила направлена от сечения, а при сжатии – к сечению.
Гипотезы, принятые при растяжении и сжатии.
1. Принцип Сен-Венана: равномерное распределение упругих сил во всех поперечных сечениях. И только в сечениях, расположенных очень близко к местам приложения сил нельзя ожидать равномерного распределения сил упругости. Определение сил упругости в местах, лежащих близко к месту приложения внешних сил, представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.
2. Гипотеза Я. Бернулли: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.
Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось OZвсех внешних сил, приложенных к оставленной части.
В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил N=f(z).
Обозначим полученное удлинение Δl, его величина будет:
Δl=l – lo (мм)
Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении, а в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.
Абсолютное удлинение (укорочение), очевидно, зависит от первоначальной длины бруса, поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесенное к первоначальной длине бруса.
Отношение
называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением (укорочением).
Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности и выражается в процентах от первоначальной длины:
Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:
Единица измерения
или МПа – мегапаскаль.
Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов.
(1)
- закон Гука
Этот закон справедлив в пределах упругой деформации, но пропорциональность нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Коэффициент Еназывается модулем упругости первого рода или модулем продольной упругости (модулем Юнга).
Размерность у Етакая же как и у напряженияσ– мегапаскаль.
При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Ебудет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.
Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. Ниже приведены средние значения Едля некоторых материалов при комнатной температуре.
Сталь 
Чугун 
Медь 
Бронза 
Алюминий 
Дерево 
Формулу (1) можно записать в другом виде,
если учесть
и
:
(2)
– формула Гука
Из формулы (2) следует, что абсолютное
удлинение (укорочение), получаемое
брусом, прямо пропорционально растягивающей
(сжимающей) силе, длине бруса и обратно
пропорционально величине
- жесткости сечения.
Формулы (1) и (2) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.
Поперечная деформация при растяжении и сжатии.
Удлинение в продольном направлении вызывает сужение в поперечном направлении. И наоборот, укорочение в продольном направлении сопровождается поперечным расширением
- относительная поперечная деформация
В пределах упругой деформации между относительной продольной деформацией εи относительной поперечной деформациейε0существует связь, называемая коэффициентом Пуассонаμ.
Средние значения коэффициента Пуассона для некоторых материалов:
Углеродистая сталь μ= 0,24 – 0,28
Алюминий μ= 0,26 – 0,36
Медь μ= 0,34
Бронза μ= 0,35
Резина μ= 0,47