3. Практическое занятие №3 «Оценка устойчивости сар алгебраическими и частотными критериями»

Целью данного практического занятия является изучение вопросов применения различных критериев для оценки устойчивости САР, а также постороение областей устойчивости.

3.1. Краткие теоретические положения

3.1.1. Дистанционная следящая система

Для иллюстрации применения критериев предлагается определить устойчивость дистанционной следящей системы. Функциональная и структурная схемы системы приведены на рис.3.1, 3.2.

Рис. 3.1. Функциональная схема следящей системы

Рис. 3.2. Структурная схема следящей системы

На рис.3.1, 3.2 введены следующие обозначения:

СД, СП – сельсин-датчик и сельсин-приемник с передаточной функцией , где- ошибка, равная разности углов поворота;

У – усилитель с передаточной функцией , где k₂– коэффициент усиления,- постоянная времени усилителя;

Д – двигатель постоянного тока с передаточной функцией , где- коэффициент передачи двигателя по скорости,- электромеханическая постоянная времени двигателя;

Р – редуктор с передаточной функцией , равной его коэффициенту передачи.

3.1.2. Критерий устойчивости Гурвица

Для характеристического уравнения

(3.1)

составляется квадратная матрица коэффициентов, содержащая n строк и n столбцов:

. (3.2)

Эта таблица составляется следующим образом:

1. по диагонали выписываются все коэффициенты по порядку с до;

2. каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами;

3. в случае отсутствия коэффициента, а также если его индекс меньше нуля или больше n, на его месте пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Определители составляются следующим образом:

,

,

,

. . . . . . . . . . . .

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

. (3.3)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию .

3.1.3. Критерий устойчивости Михайлова

Подставим в характеристический полином

(3.4)

чисто мнимое значение , гдепредставляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню. При этом получим характеристический комплекс

, (3.5)

где вещественная часть будет содержать четные степени частоты :

, (3.6)

а мнимая - нечетные степени :

(3.7)

Функции D() ипредставляют собой модуль и фазу характеристического комплекса.

Характеристический полином (3.4) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение фазы при изменении частотыот 0 доравно, где n – степень полинома D(p). Следовательно, САР будет устойчивой. Если полное приращение аргументаокажется меньше, то система неустойчива.

Величина D(j) изображается на комплексной плоскости в виде точки с координатами X и Y или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частотыменять непрерывно, то вектор будет описывать своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис.3.3).

Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты и по формулам (3.6) и (3.7) вычисляются X() и Y().

Можно сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде. Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно n квадрантов. Поэтому корни уравнений идолжны чередоваться.

Рис. 3.3. Общий вид кривой Михайлова для устойчивой системы

3.1.4. Критерий устойчивости Найквиста

Частотная передаточная функция разомкнутой системы получается из передаточной функции при подстановке , т.е.

, (3.8)

и представляет собой комплексное число. Модуль частотной передаточной функции есть отношение амплитуд выходной и входной величин, а аргументравен сдвигу фаз.

Если изменять частоту входного воздействия от дои откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует АФЧХ разомкнутой системы (рис.3.4).

Рис. 3.4. Вид АФЧХ разомкнутой системы

Достаточные и необходимые требования к АФЧХ разомкнутой системы, при выполнении которых САР в замкнутом состоянии будет устойчивой, представляют собой критерий устойчивости Найквиста. Сформулируем эти требования.

1. Статическая, устойчивая в разомкнутом состоянии система.

В этом случае АФЧХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами () или результирующий угол поворота векторадолжен быть равен 0.

2. Астатическая, нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии система.

Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой окружности бесконечно большого радиуса с углом поворота по часовой стрелке, не охватывала точку с координатами () или результирующий угол поворота векторадолжен быть равен 0.

3. Неустойчивая в разомкнутом состоянии система.

Для устойчивости такой системы в замкнутом состоянии АФЧХ должна охватывать точку с координатами () столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточной функции разомкнутой системы. При этом необходимо, чтобы при изменении частоты отдоконец вектораповорачивался вокруг точки () против часовой стрелки.

3.1.5. D-разбиение на плоскости одного параметра

При расчете и проектировании САР в качестве такого параметра принимают обычно коэффициент передачи разомкнутой системы k. Построение сводится к следующему.

В характеристическое уравнение замкнутой системы

(3.9)

делают подстановку и получают характеристический комплекс

.

Из характеристического комплекса выражают параметр k, который в общем случае представляет собой комплексное число:

. (3.10)

Задаваясь изменением частоты от достроят на комплексной плоскости годограф. Примерный вид годографа приведен на рис.3.5.

Область допустимых значений k, при которых системы будет устойчивой в замкнутом состоянии, выделяется штриховкой. Штриховка наносится по следующему правилу: перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения частоты, надо штриховать ее с левой стороны. Замкнутые области, внутрь которых направлена штриховка, будут являться областями устойчивости (см. рис.3.5).

Рис. 3.5. D-разбиение на плоскости одного параметра

3.1.6. D-разбиение на плоскости двух параметров

Для построения необходимо на плоскость двух параметров А и В нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости.

Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство . Для границы устойчивости третьего типа – равенство. Колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвицаили прохождение кривой Михайлова через начало координат.

Правило штриховки звучит следующим образом. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения частоты, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных

. (3.11)

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В – по оси ординат вверх. Пример D-разбиения на плоскости двух параметров А и В представлен на рис.3.6.

Для дистанционной следящей системы принимают и.

Рис. 3.6. D-разбиение на плоскости параметров А и В

3.2. Исходные данные и задание

Исходные данные сведены в табл.3.1. Для каждого варианта приведены параметры дистанционной следящей системы.

Таблица 3.1

Варианты практического задания №3

№ вар.	k, 1/с	Tу, мс	Tм, мс
1 2 3	800 450 400	1 2 3	30 35 40
4 5 6	250 200 200	4 5 6	45 50 55
7 8 9	140 120 140	7 8 9	60 65 70
10 11 12	100 80 100	10 11 12	75 80 85
13 14 15	80 60 90	13 14 15	90 95 100

Задание. Для дистанционной следящей системы с параметрами, приведенными в табл.3.1, применить критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста, а также произвести D-разбиение на плоскости одного и двух параметров.

3.3. Порядок выполнения задания

1. Записать передаточные функции звеньев, входящих в состав дистанционной следящей системы.

2. Определить передаточную функцию разомкнутой системы W(p).

3. Определить частотную передаточную функцию W(j) и выделить вещественную U() и мнимую V() составляющие (см. формулу 3.8).

4. Определить передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и выписать характеристический полином D(p) (см. выражение 3.4).

5. Записать характеристический комплекс D(j) и выписать вещественную X() и мнимую Y() составляющие (см. формулы 3.5-3.7).

6. Записать выражения для расчета и(см. выражение 3.10).

7. Используя три признака получить уравнения границ устойчивости на плоскости двух параметров А и В.

8. Применить критерий устойчивости Гурвица: составить матрицу коэффициентов, рассчитать частные определители, сделать вывод об устойчивости системы.

9. Применить критерий устойчивости Михайлова: выбрать на интервале изменения 20-25 значений частоты и рассчитать X() и Y() для постороения годографа Михайлова, расчетные значения занести в таблицу произвольной формы, построить годограф, сделать вывод об устойчивости системы.

10. Применить критерий устойчивости Найквиста: выбрать на интервале изменения 20-25 значений частоты и рассчитать U() и V() для построения АФЧХ, расчетные значения занести в таблицу произвольной формы, построить характеристику, сделать вывод об устойчивости системы.

11. Произвести D-разбиение на плоскости одного параметраk: выбрать на интервале изменения40-50 значений частоты и рассчитатьидля построения годографа, расчетные значения занести в таблицу произвольной формы, построить годограф, применить правило штриховки, выделить область устойчивости, нанести на плоскость точку, соответствующую исходным данным, сделать вывод об устойчивости системы.

12. Произвести D-разбиение на плоскости двух параметровkи : выбрать на интервале изменения20-25 значений частоты и рассчитать абсциссыk() и ординатыдля построения границы колебательной устойчивости, расчетные значения занести в таблицу произвольной формы, нанести на плоскость параметровkи три границы устойчивости, составить и посчитать определитель из частных производных (см. выражение 3.11), применить правило штриховки, выделить область устойчивости, нанести на плоскость точку, соответствующую исходным данным, сделать вывод об устойчивости системы.

3.4. Содержание отчета

Отчет о выполненном практическом задании должен содержать:

1) исходные данные и задание;

2) функциональную и структурную схему дистанционной следящей системы;

3) описание принципа действия системы;

4) передаточные функции звеньев системы;

5) передаточную функции разомкнутой и замкнутой систем, частотную передаточную функцию, характеристические полином и комплекс, уравнения границ устойчивости;

6) таблицы расчетных значений;

7) графики АФЧХ, кривой Михайлова и D-разбиений.

8) выводы по результатам выполненного задания.