Центробежный момент инерции уголка

мм⁴

Центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Z_cY_c:

I_yczc=(300669+(-10)∙(-99)∙1390)+(0+102∙(-35)∙2340)+(0+(-56)∙55∙4000)

I_yczc= 19761573 мм⁴

Для проверки правильности выбора знака угла  следует разбить уголок на два прямоугольника (рис.3) пересчитать и сравнить их расхождение в центробежном моменте инерции. Если расхождение велико это означает, что угол выбран не с тем знаком.

рис.3

Центробежный момент для всего сечения с уголком, разделенным на два простых прямоугольника равен:

F_1x=560 мм² – площадь поперечного сечения

F_1xx=880 мм² – площадь поперечного сечения

a_1x=8.4 мм – координата от оси Z_c1x до Z_с

b_1x=-131 мм – координата от оси Y_c1x до Y_с

a_1xx=-76 мм – координата от оси Z_c1xx до Z_с

b_1xx=-22.5 мм – координата от оси Y_c1xx до Y_с

I_yczc=(I_yc1zc1+((a_1x∙ b_1x∙F_1x)+(a_1xx∙ b_1xx∙F_1xx)))+(I_yc2zc2+a₂∙ b₂∙F₂)+( I_yc3zc3+a₃∙ b₃∙F₃)

I_yczc=(0+((8.4)∙(-131)∙560)+((-76)∙(-22.5)∙880))+(0+102∙(-35)∙2340)+(0+(-56)∙55∙4000)

I_yczc=19785224 мм⁴

Как видно из расчетов центробежные моменты инерции вычисленные разными способами расходятся в значениях не более чем на 0.12%. Это означает, что знак угла α выбран правильно.

3. Нахождение положения главных осей и моментов инерции:

Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции Z_cY_cопределим по формуле:

Так как угол >0, то откладываем его по осиZпротив движения часовой стрелки.

Определение величин главных моментов инерции I_uи I_vсечения:

Верхние знаки следует брать при I_zc > I_yc , а нижниеI_zc < I_yc

=69204276мм⁴

=29060227 мм⁴

Проверка

I_U + I_V = I_zc + I_yc  69204276+29060227 = 52648839+4561566498264503=98264503

Главная центральная ось Uполучается на чертеже поворотом осиZ_cпротив часовой стрелки, так как>0 и осьUбудет являться осью относительно которой момент инерции будет максимальным.

Раздел II

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ ) СТЕРЖНЕЙ .

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.

Основные понятия и зависимости.

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только нормальная (продольная) сила N остальные силовые факторы равны нулю. В дальнейшем центральное растяжение (сжатие) коротко называется просто растяжением (сжатием). Нормальная (продольная) сила в поперечном сечении представляет собой равнодействующую нормальных внутренних сил распределенных по площади поперечного сечения и связана с нормальными напряжениямив этом сечении зависимостью:. Принято считатьположительной нормальную силу, вызывающую растяжение, отрицательной нормальную силу, вызывающую сжатие. Нормальные силы в поперечных сечениях определяют методом сечений. Считается что при растяжении (сжатии) справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) следовательно, нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня распределены равномерно и , где- площадь поперечного сечения. Положительным считается растягивающее нормальное напряжение. Согласно гипотезе плоских сечений материал стержня при растяжении (сжатии) находится в линейном напряженном состоянии. На основании закона Гука относительное удлинение бесконечно малого участка стержня:, где модуль продольной упругости материала (модуль Юнга). Полное удлинение стержня в общем случае, когда нормальная сила и площадь поперечного сечения меняются по длине: , где - длина стержня. В частном случае, когда нормальная сила и площадь по длине постоянны: . Для ступенчатого стержня полное удлинение вычисляется как сумма удлинений его участков: , где соответственно длина, площадь поперечного сечения, нормальная сила на i - том участке.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров стержня. Между относительной поперечной - и относительной продольной - деформациями при растяжении (сжатии) существует связь , где - коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) является константой материала. Знак «-» в уравнении отражает тот факт, что и всегда имеют противоположные знаки.

Условия прочности для стержней работающих на растяжение сжатие записываются для опасных сечений стержня, в которых действуют наибольшие по величине растягивающие и сжимающие напряжения. В случае, когда материал стержня имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие достаточно одного условия прочности , где допускаемое напряжение для материала стержня. Если материал стержня имеет разную прочность при растяжении и сжатии необходимо выполнение одновременно двух условий прочности:,, где,- допускаемые напряжения для материала стержня соответственно на растяжение и сжатие.

Статически неопределимыми системами называются такие системы, в которых количество неизвестных сил (реакций, внутренних силовых факторов) превышает число уравнений равновесия. Степенью статической неопределимости n называется разность между r - количеством неизвестных и u - числом уравнений статики: . В статически неопределимых задачах не удается определить силовые факторы из условий равновесия и прежде чем решать задачи прочности и жесткости необходимо раскрыть статическую неопределимость. Общий принцип раскрытия статической неопределимости заключается в том, что в дополнении к имеющимся уравнениям равновесия всегда можно составить n условий совместности деформаций (совместности перемещений). Условия совместности деформаций (перемещений) связывают между собой деформации отдельных элементов системы или перемещения ее точек. Затем в условиях совместности деформации (или перемещения) выражаются через внутренние усилия, которые в свою очередь могут быть выражены методом сечений через внешние силы. После решения условий совместности вместе с уравнениями равновесия относительно неизвестных усилий, статическая неопределимость будет раскрыта.

Для реальных стержней на основании принципа Сен-Венана гипотеза плоских сечений справедлива лишь вдали от мест приложения внешних сосредоточенных нагрузок и мест изменения размеров и формы поперечного сечения.