![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Сопротивление материалов
- •Содержание
- •Раздел I
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •1. Определение координат центра тяжести сечения относительно произвольных осей z0y0.
- •2. Определение моментов инерции сечения
- •Центробежный момент инерции уголка
- •3. Нахождение положения главных осей и моментов инерции:
- •Раздел II
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:
- •Задача №3
- •;EmbedEquation.3;.
- •Раздел III
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Раздел V
- •Основные понятия и зависимости.
- •Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. (с постоянным по длине сечением)
- •Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
- •Задача №1
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Лобанов Николай Владимирович
Задача №2.
Задание: Для заданной балки нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде нестандартного тавра (сечение показано там же). Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя дифференциальное уравнение упругой линии балки. Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя энергетический метод.
Исходные данные: l = 2000 мм; P = 20 кН; М = 10 кНм; q1 = 15 кН/м; q2 = 10 кН/м. Материал стержней чугун СЧ15-32, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=1.1105 МПа и пределами прочности на растяжение и сжатие вр = 150 МПа, вс = 650 МПа.
Решение:
1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней на растяжение и сжатие, коэффициент запаса прочности, учитывая что материал балки хрупкий, примем: n=2:
;
.
2).Определим реакции опор из условий равновесия всей балки (см. рис.1): из суммы моментов относительно первой (левой) опоры получим –
из суммы моментов относительно второй (правой) опоры получим –
Из уравнения (1) выразим и определим реакцию левой шарнирной опоры R2 а из уравнения (2) реакцию левой шарнирной опоры R1 (нагрузку подставляем в [кН] а размеры в [м]):
Для проверки правильности нахождения реакций составим еще одно уравнение равновесия:
.
Найденные реакции удовлетворяют этому
условию, следовательно, реакции
определены верно.
3). Построим эпюры перерезывающих сил - Qи изгибающих моментов -Mпо участкам балки, используя метод сечений в следующей последовательности:
в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии xi от начала координат, (которое выбирается, как правило, в центре тяжести крайнего левого сечения балки) затем любая (в нашем случае правая) часть балки отбрасывается;
отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами Q и M(т.е. внутренними силами взаимодействия частей балки, которые можно считать реакциями отброшенной части);
силовые факторы Q и M определяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях, так чтобы изгибающий момент стремился сжимать верхние волокна, а перерезывающая сила стремилась вращать рассматриваемую часть по часовой стрелке.
Первый участок 0 x1 l . Перерезывающую силу Q1(x1) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):
-
очевидно, что эпюрой будет горизонтальная
прямая. Изгибающий момент M1(x1)
найдем из
уравнения для равновесия рассматриваемой
части (см. рис.1):
(здесь и
далее при определении изгибающих
моментов в сечении в качестве моментной
точки удобно выбирать центр тяжести
рассматриваемого сечения)
откуда:
.
Зависимость M1(x1)
– линейная,
следовательно, эпюру можно построить
по двум значениям на границах участка:
и
.
Второй участок l x2 3l . Перерезывающую силу Q2(x2) найдем из уравнения равновесия для рассматриваемой части (смотри рис.1):
.
Зависимость
Q2(x2)
– линейная,
следовательно, эпюру строим по двум
значениям на границах:
и
.
Изгибающий моментM2(x2)
найдем из
уравнения для равновесия рассматриваемой
части (распределенную
нагрузку при этом заменяем равнодействующей
см. рис.1):
,
откуда следует:
.
Зависимость M2(x2)
– квадратичная,
эпюра соответственно парабола,
следовательно, кроме значений на границах
участка:
;
требуется
определить значение момента в вершине
параболы. Координату вершины параболы
-
найдем как точку экстремума из условия:
.
Согласно дифференциальной зависимости:
,
значит,
откуда определим:
.
Вычислим значение
По рассчитанным трем значениям моментов строим эпюру изгибающего момента на втором участке (см. рис.1).
Третий участок 3l x3 4l . Перерезывающую силу Q3(x3) найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):
откуда
выразим перерезывающую силу -
.
Зависимость
Q3(x3)
– линейная,
следовательно, эпюру строим по двум
значениям на границах:
.
Изгибающий
момент M3(x3)
найдем из
уравнения равновесия
,
рассматриваемой части (распределенные
нагрузки при этом заменяем равнодействующими
см. рис.1):
,
откуда:
.
ЗависимостьM3(x3)
– квадратичная,
эпюра моментов парабола, следовательно,
кроме значений на границах участка:
;
,
требуется
определить значение момента в вершине
параболы. Однако, используя дифференциальную
зависимость
легко определить, что вершина эпюры
моментов совпадает с правой границей
участка (x3
= 4l),
так как в этом сечении Q3(x3)=0.
Значит, эпюру можно построить по
значениям на границах участка, учитывая,
что выпуклость эпюры моментов всегда
направлена навстречу направлению
распределенной нагрузки на участке
(см. рис.1).
После
построения эпюрQ
и M
нужно
выполнить их качественную проверку по
дифференциальным зависимостям: по
первой зависимости -
можно проверить построение эпюры
перерезывающей силы по приложенной
(или
отсутствующей)
распределенной нагрузке; по второй
зависимости -
можно проверить построение эпюры
изгибающего момента по эпюре перерезывающей
силы. Кроме того, следует учитывать
следующие правила: в сечениях, где
приложена сосредоточенная сила, на
эпюреQ
имеет место
разрыв (скачек) на величину приложенной
силы; в сечениях, где приложен
сосредоточенный момент, на эпюре
M
имеет место
разрыв (скачек) на величину приложенного
момента.
4). Для заданного поперечного сечения балки (рис.2)
определим
положение нейтральной линии. Как
известно, нейтральная линия совпадает
главной центральной осью перпендикулярной
грузовой плоскости, в нашем случае
грузовой плоскостью является - XY,
следовательно, нейтральная линия
совпадает с осью Zc.
Выберем начальную систему координат
как показано на рис.2. Разобьем сечение
на простейшие фигуры – два прямоугольника
верхний и нижний с площадями соответственно:
и
.
Вычислим статический момент сечения
относительно начальной осиZ
как сумму статических моментов верхнего
и нижнего прямоугольников
где:
соответственно координаты центров
тяжести верхнего и нижнего прямоугольника.
Положение нейтральной линии (осиZc)
определится координатой
.
Определим момент инерции сечения
относительно нейтральной линии (осиZc):
,
где -
и
соответственно
моменты инерции верхнего и нижнего
прямоугольников:
первые
слагаемые в приведенных выражениях
есть моменты инерции верхнего и нижнего
прямоугольников относительно собственных
центральных осей (параллельных
оси Zc),
вторые слагаемые являются поправками
Штейнера для перехода от собственных
центральных осей прямоугольников к оси
Zc.
Таким образом, момент инерции сечения
относительно нейтральной линии Zc
:
.
Вычислим моменты сопротивления сечения для верхних и нижних волокон:
;
,
где
,
соответственно расстояния от нейтральной
линии до крайних верхних и крайних
нижних волокон (см. рис.2).
5).Из
условия прочности по нормальным
напряжениям определим минимально
необходимый размер поперечного сечения
– b.
Определим сначала опасные с точки зрения
прочности сечения. Потенциально опасными
будут сечения с наибольшим положительным
и наибольшим отрицательным
изгибающими
моментами, так как поперечное сечение
стержня несимметрично относительно
нейтральной линии и материал стержня
имеет разные допускаемые напряжения
на растяжение и сжатие (в
других случаях, если хотя бы одно из
этих условий не выполняется, то опасным
будет сечение с наибольшим по модулю
моментом).
В каждом из этих сечений опасными могут
оказаться точки наиболее удаленные от
нейтральной линии, то есть крайние
верхние или крайние нижние волокна. В
самом общем случае для двух опасных
сечений следует рассмотреть четыре
условия прочности.(Все
расчеты прочности и жесткости в дальнейшем
удобнее вести в размерностях:
[Н]; [мм]; [МПа]).
Записывая
условия прочности для сечения с
для сжатых (верхних) волокон:
;
для растянутых (нижних) волокон:
.
Из
условия прочности для сечения с
для растянутых (верхних) волокон (в
формулах для расчета напряжений
изгибающий момент всегда берется по
модулю а знак напряжений определяется
характером деформации соответствующих
волокон):
;
для сжатых (нижних) волокон:
.
Максимальное
значение -
получилось из условия прочности
растянутых (нижних) волокон сечения с
моментом
,
значит самыми опасными являются эти
волокна. Окончательно принимаем -
.
Для
проверки рассчитаем действующие в
опасных напряжения и убедимся, что
условия прочности выполнены. Для
сечения с моментом
:
в верхних волокнах напряжения сжатия
–
;
в нижних волокнах напряжения растяжения
–
.
Для
сечения с моментом
:
в верхних волокнах напряжения растяжения
–
;
в нижних волокнах напряжения сжатия –
.
По полученным значениям строим эпюры
нормальных напряжений в опасных сечениях
(см. рис.2). Определим величину момента
инерции сечения относительно осиZc:
6).Выполним проверку прочности балки. Напряженное состояние в сечениях балки при поперечном изгибе является плоским и в прочностных расчетах в общем случае следует использовать теории прочности. Однако, в рассматриваемом примере сечение не является тонкостенным и следовательно касательные напряжения малы по сравнению с нормальными, кроме того большие по величине нормальные и касательные напряжения действуют в разных точках сечения (см. эпюры рис.2). Учитывая изложенное выше, проверку прочности можно свести к условию прочности отдельно по касательным напряжениям.
Допускаемые
касательные напряжения ориентировочно
можно определить как:
.
Для расчета касательных напряжений в
поперечном сечении используем формулу
Журавского:
,
где
-
статический момент отсеченной части
(лежащей выше
или ниже линии с координатой y,
на которой определяются напряжения
)
сечения относительно оси Zc.
Формула Журавского выведена в
предположении, что касательные напряжения
направлены по оси Y
и постоянны по ширине сечения. Максимальные
касательные напряжения возникают в
сечении с
.
Для сечения любой формы статический
момент отсеченной части максимален на
нейтральной линии:
,
в рассматриваемом сечении на той же
линии ширина сечения минимальна и равна
,
следовательно
.
Удобно вычислить
как статический момент прямоугольника
расположенного нижеZc.
Тогда,
условие прочности по касательным
напряжениям выполняется. Для построения
эпюры касательных напряжений в опасном
сечении (см. рис.2) учтем, что на крайних
волокнах верхних и нижних касательные
напряжения всегда равны нулю, так как
для них
(нет
отсеченной части).
Кроме того, по формуле Журавского
вычислим касательные напряжения на
границе верхнего и нижнего прямоугольников
при
:
- для ширины
и соответственно в 4.5 раза меньше
-
для ширины
.
Эпюра (y) для верхнего прямоугольника условна и показана штрихами, так как ширина прямоугольника больше его высоты и формула Журавского здесь применима только для ориентировочных расчетов.
7).Запишем уравнение изогнутой оси балки, используя общие выражения метода начальных параметров, учитывая направление нагрузок показанное на рис.1:
-
уравнение углов поворота поперечных
сечений;
уравнение прогибов поперечных сечений. При определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой - x в вышеприведенных уравнениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. Двойные черточки у слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления.
Начальные
параметры -
имеют
смысл соответственно прогиба и угла
сечения находящегося в начале координат
(приx
= 0), и должны
быть определены из граничных условий.
В качестве граничных условий используем
тот факт что прогибы сечений где
расположены опоры равны нулю, которые
могут быть записаны:
;
.
Подставляя условие(а)
в выражение (4)
получим
следующее уравнение:
.
Подставляя условие (b) в выражение (4) получим соответственно:
Решая
совместно уравнения (c),
(d)
определяем:
и
Теперь,
когда определены начальные параметры
по формулам(3)
и (4)
можно определить угол поворота и прогиб
любого сечения балки. Определим, например,
прогиб среднего сечения второго участка
(x
= 2l):
Кроме
того, определим прогиб крайнего правого
сечения балки (x
= 4l):
По
рассчитанным прогибам можно построить
приблизительную форму изогнутой оси
балки смотри рис.1. При
этом следует учитывать, что выпуклость
изогнутой оси направлена вверх, если
изгибающий момент отрицательный, а при
положительном изгибающем моменте
выпуклость изогнутой оси направлена
вниз.
8).
Определим перемещения сечения
и угол поворота сечения
и энергетическим способом, а именно
способом Верещагина.
Сначала
определим сначала
,
для этого приложим в искомом сечении
единичную силу см. рис.3. Определим
реакции опор, используя уравнения
равновесия всей балки: из суммы моментов
относительно опоры левой получим –
,
откуда
,
из
.
Строим эпюру единичного изгибающего
момента (от
действия только единичной нагрузки)
по тем же правилам что и грузовую,
описание построения эпюры опускаем в
силу элементарности. Единичная эпюра
представлена на рис.3, там же для удобства
повторена эпюра грузового момента с
обозначенными площадями участков и
положением их центров тяжести (участки
эпюры разбиты на простейшие фигуры для
удобства определения площадей и центров
тяжести).
Теперь для определения
нужно перемножить эпюры
и
по формуле Верещагина:
,
отрицательный знак означает, что
участок грузовой эпюры и единичная эпюра лежат на разноименных волокнах. Вычисляя
площади
треугольника -
,
прямоугольника –
,
симметричной (относительно
середины участка)
параболы -
,
криволинейного треугольника (парабола
с вершиной на правой границе)
-
.
Кроме того, на рис.3 показаны ординаты
единичного момента в сечениях, где
находятся центры тяжестей соответствующих
участков эпюры грузового момента,
значения которых -
,
,
.
Подставляя значения в формулу Верещагина
(в размерностях
– Н, МПа, мм)
получим:
,
знак «-» означает, что перемещение
направлено против направления единичной
силы, то есть вверх. Таким образом,
результат совпадает с полученным ранее.
Для
определения
к балке в сеченииx=2l
приложим единичный момент (см. рис.4).
Составляя уравнение равновесия
относительно левой опоры
,
а из условия
очевидно,
что
.
Эпюра единичного момента совместно с
грузовой эпюрой представлена на рис.4.
Для использования формулы Верещагина
грузовую эпюру на втором участке
необходимо разбить еще на 2 участка
(соответственно
единичной)
каждый из которых ограничен квадратичной
параболой. Вычисление площадей и центров
тяжести грузовой эпюрой в этом случае
весьма трудоемкая задача и для перемножения
эпюр по Верещагину рационально
использовать формулу Симпсона-Корноухова,
на рис. 4 проставлены необходимые для
перемножения о
рдинаты
эпюр – значения ординат на границах и
серединах участков.
Применяя формулу Симпсона-Корноухова для значения в (в размерностях – Н, МПа, мм) получим следующий результат:
Знак «+» означает, что сечение поворачивается по направлению единичного момента против часовой стрелки.