![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Сопротивление материалов
- •Содержание
- •Раздел I
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •1. Определение координат центра тяжести сечения относительно произвольных осей z0y0.
- •2. Определение моментов инерции сечения
- •Центробежный момент инерции уголка
- •3. Нахождение положения главных осей и моментов инерции:
- •Раздел II
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:
- •Задача №3
- •;EmbedEquation.3;.
- •Раздел III
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Раздел V
- •Основные понятия и зависимости.
- •Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. (с постоянным по длине сечением)
- •Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
- •Задача №1
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Лобанов Николай Владимирович
Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
Рассмотренное выше дифференциальное уравнение неприменимо для стержней с криволинейной осью и для рам. Более универсальными в этом смысле являются энергетические методы. Наиболее популярным является метод Мора (интеграл Мора).
Согласно методу Мора рассматриваются два состояния системы (балки, рамы): грузовое и единичное. Грузовое состояние обусловлено действием на систему заданной внешней нагрузки, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры называются грузовыми. Единичное состояние обусловлено действием на систему единичной обобщенной нагрузки приложенной по направлению искомого перемещения, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры, называются единичными. Под обобщенной нагрузкой понимается либо сосредоточенная сила, либо сосредоточенный момент. Обобщенной нагрузке соответствуют обобщенные перемещения: сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение; моменту соответствует угол поворота сечения.
Пренебрегая
перемещениями, связанными с деформацией
сдвига ввиду их малости по сравнению
с деформацией изгиба интеграл Мора для
случая прямого плоского изгиба запишется
в виде:
,
здесь
-
обобщенное перемещение соответствующее
приложенной единичной обобщенной
нагрузке,
выражение грузового изгибающего момента
наi
- том участке
выражение
единичного
изгибающего момента на i
- том участке.
Во всех энергетических методах знак результата означает: знак «+», что искомое перемещение совпадает по направлению с приложенной единичной нагрузкой; знак «-», что искомое перемещение противоположно по направлению приложенной единичной нагрузке.
В
инженерной практике широко используется
графический способ вычисления интеграла
Мора - способ
Верещагина.
Формула Верещагина в виде:
,
где
-
площадьi
- го участка грузовой эпюры,
ордината эпюры единичного момента
взятая под центром тяжести участка
грузовой эпюры. Знак «+» перед слагаемым
в формуле ставится в случае когда и
единичная и грузовая эпюры моментов
построены на одноименных волокнах, знак
«-» в противном случае. Минимальное
количество слагаемых в формуле Верещагина
равно количеству участков эпюры
единичного момента. Если границы эпюры
грузового момента не совпадают с
границами эпюры единичного момента, то
грузовую эпюру необходимо дополнительно
разбить по границе единичной эпюры.
Если
имеются трудности с определением
площадей и положений центров тяжести
участков грузовых эпюр, то для вычисления
интеграла Мора рационально использовать
формулу Симпсона-Корнаухова:
,
где
- длинаi
- го
участка,
- значения единичных и грузовых моментов
на левой и правой границе и посерединеi
–
го участка соответственно. Формула
Симпсона-Корнаухова справедлива только
для стержней с прямолинейными участками
(для балок и рам) и только если грузовая
эпюра либо линейна, либо является
параболой не выше 2-ой степени.
Отметим, что перемещения, определенные с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси и с помощью энергетического метода получаются одинаковыми по абсолютной величине.