3.4. Удельная потенциальная энергия при кручении.

При кручении, как уже рассказывалось ранее, первоначальные прямые линии будут отклоняться на угол сдвига γ (угол отклонения от первоначальной прямолинейной формы). При чистом сдвиге, как и при любом напряженном состоянии, в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия. Эту энергию легко подсчитать, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерамиdx,dyи толщиной δ(см. рис 17)

Рис.17. Искажение первоначальной формы при кручении.

Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила совершит работу на перемещении. Так как сила меняется пропорционально смещению, то её работа равна половине произведения силы на перемещение. Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна:

.

Если отнести энергию к единице объёма, получим:

.(44)

Выразим черезпо закону Гука. Тогда:

.(45)

Величина (размерность) называется удельной потенциальной энергией при сдвиге.

- полная потенциальная энергия упругой деформации при кручении (размерность-Дж) рассчитывается по формуле -, гдеdх– длина элементарного участка вала.

Или

Если момент и жесткость по длине вала не меняется, то

или .

4. Проверочные расчёты на прочность и жёсткость при кручении.

τ _max = , (46)

Максимальные касательные напряжения, возникающие при кручении, на поверхности вала должны быть меньше или равны допускаемым.

где: М _кр^max–максимальный крутящий момент в сечении, берётся с эпюры крутящих моментов .(размерность – Н∙мм);

W_ρ =I_ρ/ρ_max – полярный момент сопротивления кручению (размерность мм³

Так как I_ρ =– полярный момент инерции сечения; ρ_max=d/2, тоW_ρ=

- допускаемое напряжение

Для стали допускаемое напряжение рассчитывается по формуле:

,

Где -предел текучести материала

n– коэффициент запаса прочности.

Для чугуна допускаемое напряжение рассчитывается по формуле:

,

Где -предел прочности при растяжении

Условиежесткостипри кручении имеет вид:, где [] –допускаемый угол имеет размерность рад/мм в данной формуле.

При расчетах на жесткость находятмаксимальный относительный уголзакручивания: (47)

и сравнивают его с допускаемым []=0,0175рад/мм

(48)

Чтобы перейти к размерности град/мусловие жесткостидолжно иметь следующий вид:

, (49)

где [] - относительный угол закручивания имеет размерность град/м, величина лежит в пределах от 0,25 град/м до 1 град/м и зависит от назначения вала.

Величина-GI_ρ(произведение модуля упругости второго родаGна полярный момент инерции площади поперечного сеченияI_ρ)- называется жесткостью сечения вала при кручении и показывает влияние материала и геометрического размера сечения вала на получаемую деформацию.

4. Проектный расчёт диаметра вала исходя из условия прочности и жёсткости.

Если условие прочности или жёсткости не выполняется, то необходимо пересчитать диаметр вала, т.е. выполнить проектный расчёт из условия прочности:

, (50)

Где М _кр^max– максимальный крутящий момент берётся с эпюры, размерность н∙мм

- допускаемое напряжение в МПа (Н/мм²)

Проектный расчёт из условия жёсткости:

(51)

G – модуль упругости второго рода в МПа

[] =0,0175– допускаемый угол закручивания врад/мм

Из полученных двух диаметров, выбирают наибольший.

Задача: Рассчитать на прочность и жёсткость ступенчатый вал, закреплённый с одной стороны (статически определимая задача).

Дано: =80 мм; =100 мм –диаметры вала;

; ; -внешние сосредоточенные моменты (и направлены против часовой стрелки, направлен по часовой, если смотреть на сечение вала с несвободной стороны).

=100МПа; []=1град/мили 0,0175рад/мм; G=8МПа.

Решение: Вал разбиваем на участки. Проводим вертикальные линии в точках приложения моментов и изменения площади поперечного сечения вала. Нумерация участков выполняется со свободной стороны, т. к. задача статически определимая.

Рис. 18

Первый участок:Рассекаем вал на первом участке. Положительное направление внутреннего силового фактора - крутящего момента, принадлежащего сечению, против часовой стрелки.

Записываем условие равновесия:

, следовательно =. При построении откладывается вниз от нулевой линии (см. рис.18).

Второй участок:

, следовательно

Третий участок:

, следовательно . При построении откладывается вверх от нулевой линии (см. рис.18)

.

После построения эпюры необходимо убедиться в правильности решения. В точках приложения сосредоточенных моментов на эпюре должен быть скачок, равный по величине сосредоточенному моменту.

При проверочном расчёте на прочность и жёсткость выбираем максимальное значение крутящего момента .

Проверочный расчёт на прочность:

, где 0,2-момент сопротивления изгибу.

Прочность обеспечена.

Проверочный расчёт на жесткость:

- Жесткость обеспечена.

0,1-полярный момент инерции сечения.

Лекция 4. Срез и смятие.

Основные понятия. Расчетные формулы.

Детали, служащие для соединения отдельных элементов машин и строительных конструкций – заклепки, штифты, болты, шпонки – воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси.

Справедливы следующие допущения.

1. В поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила Q.

2. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по его площади равномерно.

3. В случае если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями, принимается, что все они нагружены одинаково.

Условие прочности при срезе (проверочный расчёт):

, (52)

где Q– поперечная сила

(P– общая нагрузка,z – число болтов, заклепок,i– число плоскостей среза крепежной детали)

F_ср– площадь среза одного болта или заклепки,D – диаметр болта или заклёпки.

[τ_ср]– допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкции. Принимают[τ_ср]= (0,25…0,35)·σ_т, где σ_т– предел текучести.

Также справедливо: , т.к., гдеn– коэффициент запаса прочности (для стали равный 1,5).

Если толщина соединяемых деталей недостаточна или материал соединяемых деталей более мягкий, чем у болта, штифта и т.д., то стенки отверстий обминаются, и соединение становится ненадежным, происходит смятие. При смятии действуют только нормальные напряжения – σ. Площадь смятия фактическая – это полуцилиндр, расчётная – это проекция полуцилиндра на диаметральную плоскость. F_см, где d –диаметр болта или заклёпки,- минимальная толщина листа (если соединяемые листы разной толщины).

Проверочные расчёты при срезе и смятии.

Проверочный расчёт на срез соединительных деталей:

Ниже указанная формула аналогична формуле (52)

,

Q– перерезывающая сила, равная по величине внешней

Где z– количество заклёпок (болтов)

i– количество срезов (равно количеству соединяемых листов минус один)

[τ] = допускаемое касательное напряжение при срезе. Зависит от марки материала заклёпки и от условий работы конструкции.

Проверочный расчёт на смятие соединяемых деталей:

, (53)

Где d– диаметр заклёпки (болта)

- минимальная толщина листа

z– количество заклёпок (болтов)

- допускаемое нормальное напряжение при смятии соединяемых деталей.

Проверочный расчёт при разрыве соединяемых деталей:

, (54)

Где (в - z d) – ширина листа без заклёпок

- минимальная толщина листа

- допускаемое нормальное напряжение при разрыве соединяемой детали.

Расчет выполняется для участка, где максимальное количество соединительных деталей (заклёпок, штифтов, болтов и т.д.).

Проектный расчёт (определение количества заклёпок).

, (55)

(56)

Выбираем максимальное количество заклёпок.

Определение максимально допускаемой нагрузки.

, (57)

, (58)

Из двух значений выбираем наименьшую нагрузку.

Задача: рассчитать на прочность заклёпочное соединение (на срез, на смятие, на разрыв соединяемого листа).

Дано:

Растягивающее усилие Р=150Кн.,

допускаемое напряжение среза

допускаемое напряжение при смятии

допускаемое напряжение при растяжении ,

общее количество заклёпок z=5 шт. (в одном ряду 3, в другом 2),

диаметр заклёпки .

соединяемых листа 2, следовательно количество срезов i=1(см. рис. 19), габаритные размеры указаны вмм.,

минимальная толщина листа 10мм.

Рис. 19

Решение:

1. Выполним проверочный расчет заклёпок на срез

- это значит, что прочность на срез обеспечена.

2. Выполним проверочный расчёт на смятие соединяемых листов

Сминаться будет более тонкий лист, расчетная площадь смятия равна проекции полуцилиндра на диаметральную плоскость.

- прочность на смятие обеспечена.

3. Выполним проверочный расчёт на растяжение (разрыв соединяемого листа). Разрыв может произойти в месте, где установлено максимальное количество заклёпок.

прочность обеспечена.