3.1. Основные понятия и зависимости.

Под кручением стержня понимается такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий моментМ_кр, а в поперечных сечениях возникают только касательные напряженияτ.

Валом называетсястержень, работающий на кручение.

3.2. Гипотезы, принятые при кручении:

1. Выбранное в стержне до нагружения поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным оси и после нагружения. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

2. Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, так как отсутствуют нормальные напряжения и линейные деформации равны нулю. При кручении действуют только касательные напряжения.

3. Сечения поворачиваются друг относительно друга на угол закручивания dφна элементарном расстоянии между сечениямиdх. Чем больше расстояние между сечениями, тем больше угол закручивания. Полный угол закручивания -φ –характеризует поворот концевого сечения относительно другого неподвижного на расстоянии, равном длине вала -L. Чтобы исключить влияние длины вала вводится понятие относительного (погонного) угла закручивания -.

=φ/L=dφ/dx(24) – отношение угла закручивания к расстоянию между сечениями. Имеет размерность см^-1.

Если на поверхность вала (см. рис. 1) с одним защемлённым концом, а другим свободным, нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги и приложить к свободному концу вала нагрузку в виде скручивающего момента М_кр, то первоначально прямые углы сетки будут искажаться, перекашиваться (это особенно наглядно, если в качестве материала взять резину). Уголγ называется угловой деформацией или углом сдвига. Установлено, что в пределах упругих деформаций касательные напряженияτи угол сдвигаγсвязаны между собой линейной зависимостью:

τ=G∙γ закон Гука при сдвиге, (25)

Рис. 9

G– коэффициент пропорциональности называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода и характеризует жесткость материала при сдвиге. Имеет размерность: кГ/см² или кГ/мм², или Н/мм²(МПа-мегапаскаль)

Для одного и того же материала между модулем упругости первого рода - Е (модуль Юнга), модулем упругости второго рода -G (модуль сдвига) и коэффициентом Пуассона -μ = ε^,/ε (отношение относительной поперечной деформации:к относительной продольной:) существует следующая зависимость:

(26)

3.3. При кручении вал рассчитывают напрочность и жёсткость.

Условие прочности при кручении имеет вид:

τ _max ≤ [τ]. (27)

При расчётах на прочностьнаходятмаксимальные касательныенапряжения τ_max, которые действуют на поверхности вала и сравнивают их сдопускаемыми [τ]:

τ _max ≤ [τ].

τ _max = , (28)

где М _кр^max – максимальный крутящий момент в сечении, берётся с эпюры крутящих моментов;

W_ρ =I_ρ/ρ_max – полярный момент сопротивления кручению.

Так как I_ρ =– полярный момент инерции сечения; ρ_max=d/2, тоW_ρ=

Для нахождения максимального крутящего момента строят эпюру крутящих моментов (график изменения внутреннего силового фактора – крутящего момента – по длине вала). Для нахождения крутящего момента применяется метод сечений.

Правило знаков для внутреннего крутящего момента.

Положительным направлением крутящего момента, расположенного в сечении, считается направление момента против часовой стрелки.

Для нахождения касательного напряженияτ_ρв любой точке поперечного сечения вала, находящийся на расстоянииρ от центра (см. рис. 8) справедлива следующая формула:

τ_ρ =(29)

Рис.10

Условиежесткостипри кручении имеет вид:, где [] –допускаемый угол имеет размерность рад/м в данной формуле.

При расчетах на жесткость находятмаксимальный относительный уголзакручивания: (30)

и сравнивают его с допускаемым []:

(31)

Чтобы перейти к размерности град/мусловие жесткостидолжно иметь следующий вид:

, (32)

где [] - относительный угол закручивания имеет размерность град/м, величина лежит в пределах от 0,25 град/м до 1 град/м и зависит от назначения вала.

Величина-GI_ρ(произведение модуля упругости второго родаGна полярный момент инерции площади поперечного сеченияI_ρ)- называется жесткостью сечения вала при кручении и показывает влияние материала и геометрического размера сечения вала на получаемую деформацию.

Угол закручивания круглого стержня в пределах упругих деформаций рассчитывают по следующей формуле:

(33)

где М_кр- крутящий момент,

ℓ - длина вала,

G- модуль сдвига

I_ρ- полярный момент инерции площади поперечного сечения сплошного стержня диаметромd,

- полярный момент инерции трубчатого стержня с внутренним диаметроми наружным диаметром,

G- жесткость сечения стержня при кручении, кГ(МПа).

Чтобы получить формулу (29) для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения стержня и формулу (30) для определения относительного угла закручивания круглого стержня, необходимо рассмотреть некоторый участок вала длиной(см. рис. 9).

Рис. 11

Вал подвержен действию некоторого скручивающего момента М_к, вызывающего внутренний крутящий момент М_кр

Пусть угол поворота одного из сечений m-mвыделенного элемента вала будет, тогда угол поворота другого сеченияn-nэлементарного участкабудет, т. е. угол закручивания участка стержня длинойбудет. Следовательно, если до деформации радиуссеченияm-mи радиуссеченияn-nнаходились в одной диаметральной плоскости, то после деформации кручения радиусзаймёт положение, составляющее уголс его положениемдо деформации. Образующаяпосле деформации займёт некоторое новое положениепод угломк её первоначальному положению.

Уголмежду образующимиипредставляетcобой не что иное как относительный сдвиг, или угол сдвига:

tg.

Учитывая, что=, а=, угол сдвига можно представить в виде

(34)

Величина, как уже известно (см. пункт 3 основных гипотез, принятых при кручении), является относительным (погонным) углом закручивания и обозначается через. Учитывая это формулу (33) можно записать так:

. (35)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи, устанавливающую связь между напряжением и деформацией. Поскольку элемент испытывает чистый сдвиг, то, учитывая выражение (10) согласно формуле(1) получим:

. (36)

Так как при закручивании поперечные сечения вала остаются плоскими, а радиусы прямыми (см. пункт 1 гипотез, принятых при кручении), то выражения для угла сдвига и касательного напряжения в сечении на расстоянииот центра его можно представить формулами, аналогичными формулам (35) и (36):

; (37)

. (38)

Формула (37) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстояниюточек от центра сечения (см. рис. 10). Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня, при. Таким образом, выражение (38) можно переписать в виде:

.

Так как М_крбудет единственным усилием в сечении вала, представляющим собой суммарный момент от касательных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения:

(39)

Подставляя выражение (38) для касательного напряжения в уравнение (39), будем иметь:

.

Отсюда получим формулу для определения относительного угла закручивания круглого стержня (см. формулу (30)), указанную ранее:

(40)

Зная выражение (24) относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии:

. (41)

Если в пределах цилиндрического участка стержня длиною крутящие моменты в сечениях не изменяются, то

(42)

Формулу (42), устанавливающую связь между силовым фактором при кручении(М_кр) и соответствующей деформацией кручения (углом), часто называютзаконом Гука при кручении.

Для определения касательного напряжения в любой точке сечения стержня достаточно в формулу (38) подставить выражение дляпо формуле (40). Тогда:

(43)

Формула (43) аналогична формуле (29), что и требовалось доказать.

Если в стержне выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол α и воспользоваться формулами, связывающими нормальные напряжения и касательные напряженияприложенные к исходным площадкам под углом α:=τ∙sin2α и =τ∙cos2α. При α=0⁰ и α=90⁰ напряжения ипринимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е.=0, а=.При α=45⁰ касательные напряжения =0, а нормальные напряжения=.

Рис. 12

Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения при упругом кручении можно определить по формуле:

τ_{ρ =},

где ρ - расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется касательное напряжение.

Формула показывает, что напряжения в плоскости сечения вала распределены неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейному закону от нуля в центре сечения, до максимума на его поверхности (см. рис. 10).

Известно, что касательные напряжения в наклонных площадках определяются по формуле: =τ∙cos2α. Вычислим значение касательного напряжения на площадке, расположенной под углом 90⁰ к наклонной.

Тогда .

Значит .

Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены навстречу друг другу.

Рис. 13

В силу закона парности действия касательных напряжений в осевых (продольных) сечениях также возникнут касательные напряжения. Таким образом, при кручении касательные напряжения действуют в поперечных и продольных сечениях вала, направленные от ребра или к ребру (см. рис. 12, 13).

При кручении материал вала находится в состоянии чистого сдвига, поэтому в сечениях, наклоненных под углом 45⁰ к граням, на которых действуют касательные напряжения, будут действовать только нормальные напряжения, численно равные касательным. Таким образом, чистый сдвиг

может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (см. рис. 12 и рис. 14).

Рис. 14

Характер разрушения вала будет зависеть от способности материала сопротивляться касательным и нормальным напряжениям.

Если материал сопротивляется сдвигу хуже, чем растяжению (сталь), то образец разрушается по сечению, нормальному к его оси (см. рис. 15).

Если на образце начертить продольную, прямую линию, то после разрушения линия будет винтовой. Количество витков будет равно количеству полных углов закручивания. Полный угол закручивания равен .

Если же материал сопротивляется растяжению хуже, чем сдвигу (чугун), то трещины при кручении пойдут по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45⁰ с осью стержня (см. рис 16).

Рис. 15. Вид разрушения образца из стали.

Рис. 16. Вид разрушения образца из чугуна.