Вопрос 16
Дано: структурная группа 2-го класса 1-го вида (рис. 4.6, а). Структур-
ная группа BCD имеет структурную формулу BBB и состоит из двух звеньев
(2 и 3) и двух поводков (звенья 1 и 4). На звенья структурной группы дейст-
вуют силы 2 F , 3 F и моменты пар сил 2 M и 3 M .
Решение. Точки В и D являются центрами вращательных кинематиче-
ских пар, следовательно, используя принцип «исключения связей», заменяем
связи, наложенные поводками 1 и 4 на движения звеньев 2 и 3, соответст-
вующими реакциями. Получаем реакции 12 R
и 43 R
(рис. 4.6, б), для которых
известны только точки их приложения. С целью разрешения поставленной
задачи разложим каждую реакцию на составляющие:
21 21 21R =Rn +Rτ ,
43 43 43R =Rn +Rτ .
В результате проделанных мероприятий структурная группа BCD на-
ходится в равновесии.
Запишем уравнение равновесия структурной группы BCD (рис. 4.6, б):
R2n1 +R2τ1+F2 +F3 +R4τ3 +R4n3 =0.
Полученное уравнение содержит четыре неизвестных, следовательно,
рассматриваемая система трижды статически неопределима. С целью скры-
тия статической неопределимости найдем значения реакций 21 Rτ
и 43 Rτ . Для
этого рассмотрим каждое из звеньев 2 и 3 без учета друг друга.
Звено 2 находится под действием силы 2 F
, реакций 21
n R
, 21 Rτ и момента
пары сил 2 M . Направление действия векторов 21
n R
, 21 Rτ неизвестно, следова-
тельно, при составлении уравнения моментов задаемся произвольным на-
правлением действия векторов этих сил. Если после определения значений
данных реакций получим отрицательный результат, то истинное направление
действия векторов противоположно принятому.
Запишем уравнение моментов всех сил относительно точки С:
( ) ( ) ( ) 2 21 2 0, 0. iC C C ΣM F = M F +M Rτ +M =
При этом ( ) 21 n 0
C M R = , т. к. линия действия вектора 21
n R
проходит через
точку С.
Момент реакции 21 Rτ
относительно точки С
( ) 21 21 , C BC M Rτ =Rτ ⋅l
тогда уравнение моментов принимает вид
( )2 21 2 0, C BC M F +Rτ ⋅l +M =
откуда имеем
R
l
τ ⎡ + ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Знак искомой реакции 21 Rτ
определяется знаком правой части последне-
го выражения.
Звено 3 находится под действием силы 3 F
, реакций 43
n R
, 43 Rτ
и пары сил
с моментом 3 M . Направление действия векторов 43
n R
, 43 Rτ
неизвестно, следо-
вательно, при составлении уравнения моментов задаемся произвольным на-
правлением действия векторов этих сил. Если после определения величин
этих реакций получим отрицательный результат, то истинное направление
действия векторов противоположно принятому.
Запишем уравнение моментов всех сил относительно точки С:
( ) ( )3 23 3 0, 0, iC D CD ΣM F = M F +Rτ l +M =
При этом ( ) 43 n 0
C M R = , т. к. линия действия вектора 43
n R
проходит через
точку С.
Момент реакции 43 Rτ относительно точки С
( ) 43 43 , C CD M Rτ =Rτ ⋅l
тогда уравнение моментов принимает вид
( )3 43 3 0, Ñ CD M F +Rτ ⋅l +M =
откуда имеем
( ) 3 3
43 C .
CD
M F M
R
l
τ ⎡ + ⎤
= − ⎢
Знак искомой реакции 43 Rτ определяется знаком правой части получен-
ного выражения.
В результате проведенных действий в уравнении равновесия неизвест-
ны только реакции 21
Rn и 43
Rn , а статическая неопределимость системы
уменьшилась до единицы. Величины неизвестных реакций найдем, исполь-
зуя план сил. Построение плана сил производится в масштабном коэффици-
енте сил F μ и основано на принципе: вершина предыдущего вектора являет-
ся началом последующего вектора (рис. 4.6, в).
Для расчета значений реакций 21
Rn и 43
Rn используем выражения
21 21 n n ,
F R =R ⋅ μ
R =R ⋅μ
Значения полных реакций 21 R и 43 R вычислим по формулам
( ) ( ) 2 2
21 21 21 R= Rn +Rτ ,
( ) ( ) 2 2
43 43 43 R = Rn +Rτ .
Для определения реакций в шарнире С соединим точки b, d с точкой c
на плане сил (рис. 4.6, в). В результате получим векторы реакций 23 32 R ≡ R
,
значения которых определим по выражению
23 32 F F R = R = bc ⋅μ = dc ⋅μ .