1.1.4. Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний точки вдоль оси Ox:

,

где A - амплитуда колебаний; - циклическая (круговая) частота;- начальная фаза колебаний в момент времениt = 0, - фаза колебаний в момент времениt.

Циклическая частота колебаний: ,

где - линейная частота колебаний;- период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox:

.

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox:

.

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой

и ,

определяется по формуле

,

где ,и,- амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний.

Начальная фаза результирующего гармонического колебания определяется по формуле:

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с амплитудами и, и начальными фазамии:

.

Если начальные фазы искладываемых колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки, на которую действует упругая сила :

или ,

где - масса материальной точки;- коэффициент упругости;- циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Период колебаний пружинного маятника: ,

где - масса маятника,- коэффициент упругости пружины.

Период колебаний математического маятника: ,

где - длина маятника;- ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника: ,

где - приведенная длина физического маятника;- ускорение свободного падения;- расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;- момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника:

или ,

где - масса маятника;- коэффициент упругости пружины;- коэффициент сопротивления среды;- коэффициент затухания;- циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний:

,

где - амплитуда затухающих колебаний;- амплитуда колебаний в момент времени;- основание натурального логарифма;- коэффициент затухания;- начальная фаза затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний: .

Логарифмический декремент затухания: ,

где - период затухающих колебаний;- время релаксации;- число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды враз.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

или ,

где – внешняя приведенная периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания,

–её амплитудное значение, .

Амплитуда вынужденных колебаний:

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда :

и .