2. Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме:

,

где - импульс материальной точки массой , - результирующая сила.

При : .

Третий закон Ньютона: .

Сила упругости: , гдеk – коэффициент упругости и x – изменение длины тела.

Сила гравитационного взаимодействия двух тел: ,

где - гравитационная постоянная, и- массы тел; - расстояние между центрами масс тел.

Сила трения скольжения: , гдеμ – коэффициент трения и – нормальная составляющая реакции опоры.

Закон сохранения импульса замкнутой системы тел:

или .

Работа, совершаемая постоянной силой :FΔrcosα,

где - перемещение тела,α – угол между векторами силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой:

При этом интегрирование проводится вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность, развиваемая силой в течение времени :

Мгновенная мощность: , или = = Fcosα,

где α – угол между векторами силы и скорости.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно):

или

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины): ,

где k – коэффициент упругости и x – изменение длины тела.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (двух тел) массами и, находящихся на расстоянии:

.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, на высоте h:

П =mgh,

где g – ускорение свободного падения тела.

В замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия этих тел является постоянной величиной:

E= Т+П= const.

Из законов сохранения энергии и импульса следует, что после прямого центрального удара двух шаров скорость абсолютно неупругих шаров равна

,

а скорости абсолютно упругих шаров равны

и ,

где и - проекции первоначальных скоростей шаров, имеющих, соответственно, массы и , на их направление движения.

2. Механика твёрдого тела

Момент силы , действующей на тело, относительно точкиO: ,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.

Модуль момента силы :,

где - угол между векторамии,- плечо силы.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения: ,

где m – масса точки, - расстояние этой точки до оси.

Момент инерции твердого тела относительно оси: ,

где – масса –го элемента объема тела,- расстояние–го элемента объема до оси.

Момент инерции твердого тела в интегральной форме: .

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину: , гдеm – масса стержня и - его длина.

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец: .

Момент инерции кольца (обруча) относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца (обруча) и проходящей через его центр: ,

где m – масса кольца (обруча) и R – его радиус.

Момент инерции круглого однородного диска (цилиндра) относительно его оси симметрии: ,

где m – масса диска (цилиндра) и - его радиус.

Момент инерции однородного шара относительно его оси симметрии: ,

где m – масса шара и - его радиус.

По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен

,

где - момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела;m – масса тела и - расстояние между указанными осями.

Момент импульса вращающегося тела относительно неподвижной оси:

,

где - момент инерции тела относительно неподвижной оси;- угловая скорость тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где - момент силы, действующей на тело, относительно точкиO, находящейся на неподвижной оси.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянного момента инерции:

,

где - момент инерции тела относительно неподвижной оси;- угловое ускорение тела.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел, момент инерции которой меняется относительно неподвижной оси:

,

где и,соответственно, начальный и конечный моменты инерций системы тел;и, соответственно, начальная и конечная угловые скорости этой системы тел.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел относительно неподвижной оси:

,

где ,и,,соответственно, начальные и конечные моменты инерций тел;, и ,,соответственно, начальные и конечные угловые скорости этих тел.

Элементарная работа постоянного момента силы , действующего на вращающееся тело:, где- угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая моментом силы при вращении тела:

, где - мгновенная угловая скорость тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела: ,

где - момент инерции тела относительно его оси вращения.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где - масса тела;- скорость движения центра масс тела;- момент инерции тела и- угловая скорость вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс этого тела.

Работа силы, совершаемая при вращении тела, расходуется на изменение его кинетической энергии:

.

где и,соответственно, начальная и конечная угловые скорости тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие) тела: .

где - начальная длина тела,- изменение его длины.

Напряжение деформации тела: ,

где F -модуль силы, действующей на площадь S поперечного сечения тела.

Закон Гука для малой деформации тела: , где- модуль Юнга.

Потенциальная энергия упругого растянутого (сжатого) стержня:

,

где - первоначальный объем тела.