VimTfl2 лт

Таким образом, речь идет о достаточно горячем и разреженном газе. Дляобычных газов это условие практически всегда выполнено. При охлажде­нии и сжатии раньше, чем оно нарушится, сильно нарушается условие идеальности.

27

Это же условие можно представить еще в виде а³ ^> A³_ap, где Л_хар = 2тг7г/р_хар — характерная для молекулы длина волны де Бройля, а = (V/iV)¹'³ — среднее расстояние между молекулами. Расстояния между молекулами велики по сравнению и их длиной волны де Бройля, мож­но было бы построить волновые пакеты отдельных молекул, которые не перекрывались бы.

2.1 Распределение Максвелла

Если такой газ находится в равновесном состоянии, то очень просто за­писать функцию распределения по состояниям для отдельных молекул газа. Достаточно рассматривать отдельную молекулу как "тело", нахо­дящееся в термостате, состоящем из остальных. Вероятность того, что молекула находится в определенном квантовом состоянии с энергией е равна

w = -е~^^т_: z

где z - статистическая сумма, взятая по всем состояниям молекулы. Такое распределение принято называть распределением Больцмана. (В даль­нейшем величины, относящиеся к одной частице, мы будем обозначать малыми буквами). Можно ввести также среднее число молекул (щ) в со­стоянии |г) с энергией е$ ( его называют также среднее средним числом заполнения). Согласно распределению Максвелла в равновесном состоя­нии

(щ) = -е^^т.

Z

Энергия молекулы всегда разделяется на сумму кинетической и каких-то добавок (вращение, колебания и т.п.), а распределение — на произве­дение распределений по кинетической энергии и по добавкам. Поэтому распределение по кинетической энергии оказывается независимым и име­ет вид, известный как распределение Максвелла:

e _z^e (_27rft)3'

где dVd?p/(2irh)^ - количество рассматриваемых состояний с данной энер­гией (число ячеек фазового пространства). Статистическая сумма

^dw~

28

Если есть внешнее поле U(r)_: то энергия

mv² _тт/ . е = — + 17 г

и в вероятности появляется множитель е ^и(^г>'^т (распределение Больц-мана), а при вычислении z множитель V заменяется на

Этот вывод можно сделать, опираясь на классическое распределение w ос е~^н(^г'^р>'^т. Покажем, как можно получить это распределение, стар­туя от квантового. Ограничимся одномерным случаем, для которого у нас есть готовые формулы квазиклассического приближения.

Вероятность обнаружить частицу в интервале (ж, х + dx) равна

dw = ^2w_n\ifj_n(x)\²dx_: где w_n = w(e_n) = -е~^£п/т'.

п

В квазиклассическом приближении нормированная волновая функция Фп = \ — sin / pdx, v = \ — [е_п -

V 7TV J V ТП

После усреднения по быстрым осцилляциям

1/2 ^ш

п\ => — 7TV

_\Ф\

От суммирования по п (с dn = 1) перейдем сначала к суммированию по de_n = Hudn:

dw =

vim

а затем — no dp = -^ (p — согласно уравнению Гамильтона — импульс). В рамках квазиклассического приближения суммирование можно заме­нить интегрированием. При этом будем иметь в виду, что одному зна­чению е_п и х соответствуют два значения р — разных знаков. Будем считать, что интегрирование проводится по всем значениям р, и поэтому разделим интеграл на 2:

/u/odx и

29

Статсумма вычисляется путем интегрирования по всем значениям жир, как и было сказано выше.

Если можно говорить с достаточной точностью об одновременно опре­деленных х и р (разумеется, в рамках соотношения неопределенностей), то мы приходим к классическому распределению

(**)

2тгН

dw = I

z

Заметим, что конкретный вид функции w{e) в этом выводе не играл роли.

В данном случае усреднение можно представлять себе как результат последовательного выполнения квантового и статистического усредне­ ний. Более того, в процессе движения нескольких очень слабо взаимо­ действующих частиц можно наблюдать такие усреднения. Иллюстрацией этого может служить рис.1, на котором представлены траектории шари­ ков, движущихся по наклонному биллиардному столу (разумеется, это компьютерная модель). Точки, изображающие положения центров ша­ риков, выведены на экран через равные промежутки времени, так что концентрация их оказывается пропорциональна вероятности обнаружить шарик вблизи данной точки, т.е. ²

'■'-• '--i....-"

Рис. 1: Следы шариков, двигающихся по наклонному биллиардному столу, постав­лены через равные промежутки времени. Слева — за короткий интервал времени. Для участка траектории наиболее вероятно наблюдение шарика вблизи вершины параболы. Справа — после многих столкновений шариков друг с другом. Видно, как возникает больцмановское распределение.

К вопросу о функции распределения частиц при наличии достаточно плавно изменяющегося внешнего поля С/(г) можно подойти и по-другому. Разобьем мысленно пространство на участки, в пределах каждого из ко­торых можно считать поле приблизительно постоянным. Тогда можно будет смотреть на значения С/(г) на каждом из участков как на низ­ший уровень энергии. Этого достаточно, чтобы записать распределения

30

(*),(**). Этот подход к выводу распределения Больцмана отвечает усло­виям, когда длина свободного пробега молекул мала в сравнении с мас­штабом неоднородн остей.

Если же поле не плавное, то распределение будет совсем иным. Напри­мер, для электронов в переменном периодическом поле внутри кристалла воздействие поля приведет, как мы знаем, к появлению запрещенных зон и т.п.

Отметим, наконец, что для распределения по состояниям молекул вполне применимо представление об "ансамбле" тел, о котором шла речь в предыдущем разделе, поскольку эти "тела" (молекулы) являются ми­кроскопическими. Несомненно, величины, относящиеся к отдельным мо­лекулам (например, средняя энергия, средняя величина относительной скорости молекул и т.п.), могут быть найдены как путем усреднения по ансамблю, так и усреднением по времени (чем мы не занимаемся).

Распределение Максвелла может быть получено также как следствие картины столкновений частиц (см. зад.2 к разделу 14.4).

ЗАДАЧИ.

1. Сколько воды испарится при 20°С за 1 с с 1 см² её поверхности, обдуваемой сухим воздухом? Давление насыщенных паров при 20 С равно 18 мм рт. ст.

Какой поток тепла должен бы подводиться к поверхности: чтобы обеспечить такую скорость испарения?

2. Пусть вероятность столкновений молекул максвелловского газа опре­ деляется сечением столкновения, зависящим от их относительной скорости: а = <то(1 + ^о/^отн)- Найти частоту столкновений и сред­ нюю длину свободного пробега молекул.

3. Зависимость эффективного сечения реакции D + Т —> Не + п от энергии в(эВ) дейтрона в системе покоя ядра трития а = (а/е) ехр(— где а = 6- 10~¹⁷²/,6= 1,5- 10³¹/². Определить число нейтронов, об­ разующихся за 1 с в 1 см³ плазмы в зависимости от концентраций

и пт и температуры Т. В частности, при Т = 10⁶,10⁷,10⁸К.

4. Оценить количество N молекул в аудитории с кинетической энер­гией не менее Eq для £о⁼1>2,3,4 эВ (согласно распределению Макс­велла). Для случая, когда окажется N <С 1, оценить время, спустя которое появится хотя бы одна молекула с такой энергией.

31