1.6 Усреднение по времени и по ансамблю

Обычно в квантовой механике под средним значением какой-нибудь величины понимают "среднее по ансамблю", полагая, что исследуется, скажем, миллион одинаковых атомов, поставленных в одинаковые усло­вия, — "ансамбль". Аналогичную ситуацию можно иметь в виду, если идет речь, например, о распределении молекул газа по скоростям.

Однако для макроскопической системы, скажем, газа в каком-то бал­лоне, подобное рассуждение является подчеркнуто риторическим, ан­самбль одинаковых баллонов с газом является "только мысленно воз­можным". Тем не менее в статистической физике мы практически всегда подразумеваем усреднение по ансамблю. Реально же наблюдается обыч­но среднее по времени. Можно ли доказать, что находимые нами средние совпадают со средними по времени?

Попытки доказать это для замкнутой системы, описываемой класси­ческой механикой, основаны на представлении, что точка в 2s-MepHOM пространстве канонических переменных (напимер, координат и импуль­сов), изображающая состояние системы, (s — число степеней свободы) обойдет всю поверхность постоянной энергии и равномерно "заполнит" ее. Это так называемая эргодическая гипотеза, которой когда-то уделя­ли большое внимание. Однако время, за которое это могло бы произойти, заведомо столь велико, что во много раз превышает возможности наблю­дения (и возраст Вселенной). (Для математических иследований задача об эргодичности той или иной системы остается привлекательной.)

Скорее всего, упомянутое выше сведение микроканонического распре­деления к каноническому — для малых частей замкнутой системы,— по­казывает, на каком пути можно ожидать успешного доказательства. За достаточно малый промежуток времени (для газа — за время несколь­ких свободных пробегов молекулы) устанавливается равновесие в каж­дой из малых частей системы, и такая выборка состояний оказывается достаточно представительной для всей большой системы. Пожалуй, луч­ше было бы вести речь не о "доказательстве", а об определении условий,

26

при которых можно наблюдать заметные отклонения от находимых в статистической физике закономерностей.

Есть много работ, посвященных этому кругу вопросов. Не вырабо­тана даже безусловно принимаемая всеми постановка задачи. Впрочем, правильная постановка задачи означала бы, по-видимому, более полови­ны решения. Более в этом курсе мы почти не будем касаться вопросов обоснования статистической физики.

2 Больцмановский идеальный газ

Будем рассматривать газ в термостате, причем такой, что состояние одной молекулы никак не влияет на состояние других.

Это означает прежде всего малость взаимодействия: потенциальная энергия взаимодействия молекулы с окружающими мала в сравнении с кинетической энергией молекулы: (w(ri—гз)) <С (^т~) — ^эт0 определение идеального газа.

Возможно также взаимное влияние частиц, связанное с их тожде­ственностью. Например, известен принцип Паули, "запрещающий" двум электронам занимать одно и то же квантовое состояние. Подобное влия­ние будет несущественным, если количество квантовых состояний, в ко­торых могут реально находиться молекулы газа, во много раз превышает число молекул.

Газ, удовлетворяющий этому условию, называется больцмановским. Число квантовых состояний определяется с помощью квазиклассическо­го приближения через характерный, типичный импульс молекулы р_хар; Pip/2™ ~ Г:

_vy

где N - число частиц, или