7.9 Теплоемкость твердого тела

Имеется в виду кристаллическая решетка, о теплоемкости электрон­ного газа речь уже шла.

Движение атомов друг относительно друга можно рассматривать как малые колебания. Вспомним, что для цепочки атомов, была зависимость частот от номера нормального колебания. В кристалле ситуация анало­гична.

Атомы в кристалле можно представлять набором осцилляторов с раз­ными частотами. При температурах, высоких по сравнению с наиболь­шей из этих частот, на каждый осциллятор приходится теплоемкость с = 1, на N атомов — С = SN — это закон Дюлонга и Пти.

При низких температурах теплоемкость падает. Эйнштейн, впервые применивший квантовый подход к вычислению теплоёмкости кристалли­ческой решётки, принял, что все частоты этих осцилляторов одинаковы. Тогда при малых Т теплоемкость ос _е-^о/г Эксперимент дает ос Т³.

Дебай предположил, что спектр примерно такой же, как для коле­баний упругого тела, ш = ик, где к — волновой вектор, и — скорость звука, некоторым образом усредненная (см. ниже). Полное же число нор­мальных колебаний было выбрано равным числу степеней свободы, что обеспечивает выполнение в модели закона Дюлонга и Пти.

При низких температурах осцилляторы с высокими частотами не воз­буждаются, поэтому ограничение спектра не сказывается и получается такая же зависимость теплоемкости от температуры, как для фотонного газа С ос Т³.

В промежуточной области температур модель Дебая можно считать интерполяционной.

Удобно ввести циклические граничные условия и рассматривать в ка­честве нормальных колебаний бегущие волны. Нужно учитывать, что

81

возможны разные поляризации звуковых волн, в изотропном теле — про­дольные (I) и поперечные (t). Число колебаний

Vd?k

3Vu²du

~

^ (2тг)³«?

i=l,h,h ^V ' ¹

где и — средняя скорость звука в решетке, которая определяется так:

3 _ 1 2

W"¹ Uf Щ

Максимальная частота в дебаевской модели принимается одной и той же для продольных и поперечных волн и определяется из условия:

SV

= 3N

Обычно вводят дебаевскую температуру

T_D = hw_m = ( бтг — J Теперь легко записать энергию

Ни.

Е =

л ^Td/T ,

3VT⁴ Г /1

= 3N

'т

где

е* -

при при

— функция Дебая (ее значения имеются в таблицах, что имело смысл до распространения компьютеров).

При Г < T_D, E = (9/8)iVT_D+(37r⁴/5)iV(r⁴/^D)₅ ^c = (12тг⁴/5)ЛГ(Т³/Т|

При Г > Гд, Е = 3NT, С = 3N.

Теория Дебая оказалась очень удачной.

82

Примеры значений дебаевской температуры: очень высокая — для ал­маза (Td=1860K) и низкая — для свинца (Тд=88К).

Тепловое движение можно считать газом фононов, каждое нормаль­ное колебание — сорт фононов, N^ — число фононов с волновым вектором к. Отвлекаясь от возможных явлений, связанных поверхностью, удобно принять циклические граничные условия для колебаний решетки. Тогда каждый фонон можно представлять себе как бегущую плоскую волну с определенными поляризацией и волновым вектором.

Истинный спектр колебаний известен из опытов по рассеянию ней­тронов. При неупругом рассеянии проявляются отдельные фононы, и законы сохранения позволяют по потере импульса и энергии нейтроном узнать зависимость энергии фонона от его квазиимпульса. Спектр ока­зался не очень похож на дебаевский.

В выражении энергии есть слагаемое 9NTd/8 — вклад нулевых коле­баний. Оно не проявляется в теплоемкости. Однако в других явлениях (рассеяние рентгеновских лучей, эффект Моссбауера и др.) эти колеба­ния полностью проявляются.

ЗАДАЧИ

1. В модели Дебая найти средний квадрат амплитуды колебаний ато­ма.

2.