14.10 Квантовое кинетическое уравнение

Пусть тело является частью некоторой большой замкнутой системы. Ее состояние может быть задано волновой функцией Ф(ж, q), где х — ко­ординаты частиц тела, a q — координаты частиц окружающих тел. Само

166

же по себе тело, взаимодействующее с окружающей средой, не имеет собственной волновой функции. Функция

p(x_h a?_2j t)= Г dqV(x_u q)V*(x₂, q), (1)

называемая матрицей плотности, содержит в себе информацию о со­стоянии тела, усредненную по состоянию среды. Например, р(х, х, t) — распределение по координатам. Сделав преобразования Фурье по х\ и х₂, получим матрицу плотности в импульсном представлении, а тем самым и распределение по импульсам.

Как мы уже неоднократно принимали, будем считать, что взаимо­действие со средой существенно лишь в пределах очень больших проме­жутков времени, а за рассматриваемые нами интервалы роли не игра­ет. Тогда можно принять ⁸², что изменение состояния тела со временем определяется оператором Гамильтона Н, действующим только на коор­динаты тела х.

С помощью уравнения Шредингера для функции Ф(ж, q) из (1) полу­чаем

Ы'¹^ ={(H_t-H₁)p(*u*2,t), (2)

где Hi — гамильнониан, действующий на координаты х\, а Н₂ — на координаты х₂. Это уравнение движения для матрицы плотности.

Можно привести описание состояния тела к виду, очень похожему на классическое описание с помощью функции распределения, а уравнение движения — к виду, похожему на кинетическое уравнение. Для этого запишем матрицу плотности в смешанном представлении (ее называют также квантовой функцией распределения, функцией Вигнера):

(3) Обратный переход от функции Вигнера к матрице плотности:

(4)

⁸² Мы не будем заниматься формальным доказательством этого факта. Еще раз подчеркнем, что тело очень долго взаимодействовало со средой, так что переход к матрице плотности неизбежен, но в течение тех интервалов времени, которые мы рассматриваем, этим взаимодействием можно пренебречь.

167

Из (4) видно, что распределение по координатам получается интегриро­ванием f(x,p,i) по импульсам: f(x,i) = p(x,x,i) = J f(x,p,i)dp. Под­ставив в (3) матрицу плотности в импульсном представлении, легко по­лучить, что распределение по импульсам F(p,t) = f f(x,p,t)dx.

Функция f(x,p, t) переходит в классическую функцию распределения лишь для квазиклассического движения частиц. Пусть в окрестности точки хо состояние частицы описывается волновой функцией ф(х) = а(х)е^гк(^х>>х, где а(х) и к(х) — функции, заметно изменяющиеся лишь на расстоянии I ^> 1/к(хо). Очевидно, вероятность частице находиться вблизи точки х равна |а(ж)|²<Ь;, а наиболее вероятное значение импульса при этом близко к Нк(хо). Матрица плотности

р(х₀ -

Переходя к функции Вигнера, получаем

I

f(x_o,p) и \а(х_о)\² J eWM-Mdtfa и \а(х_о)\²~5(р - Нк(х₀)),

-I

где 6(р — Нк(хо)) — функция, имеющая вблизи точки р = Нк(хо) макси­мум, притом тем более острый, чем больше участок ~ 21, на котором к(х) имеет почти постоянное значение к(хо) . Таким образом, в этом случае функцию f(x,p) можно интерпретировать, как плотность вероятности того, что координата и импульс частицы приближенно определены од­новременно и равны х и р.

В частном случае, когда состояние частицы описывается волновой функцией, и притом гауссовым волновым пакетом

ф(х) = тг~^1/4а~^1/2ехр(-(ж - х_о)²/2а² + ip_ox/h),

функция Вигнера задает гауссово распределение в плоскости (х,р) с цен­тром в точке (хо,ро).

В случае, далеком от квазиклассического, функция f(x, p) теряет сход­ство с классической функцией распределения, а для каких-то значений х и р может быть и отрицательной.

Мы запишем уравнение движения для случая, когда частицы движут­ся во внешнем поле⁸³, так что Н = р²/2т + U(x).

⁸³ Запись все время ведется для одной степени свободы, чтобы не осложнять чтение формул; переход к нескольким — очевиден.

168

Из уравнения (3) с учетом (2) получаем

(5)

где

х₂

Х =

~м ~ -г ₂ , ~ ₂

Введем операторы импульса, соответствующие х и

Тогда

г) д тдх i

Подставляя (6) в (5), можем переадресовать действие эрмитова опера­тора г) с матрицы плотности на экспоненту (в результате он заменится на число — р). В итоге вклад кинетической энергии ^^ вынесем из под интеграла.

dt тдх h J 2тг Наконец, подставим в (7) р из (4)

- U(_Xl))p(x_hx₂,t),

(7)

U х-^\-

dt тдх Н / 2тг

(8)

В частном случае, если U{x) имеет вид квадратного трехчлена, урав­нение (8) полностью сводится к классическому. (При доказательстве по­надобится замена h£ —> Jp и интегрирование по частям).

Если поле U(x) изменяется очень плавно, то от (8) несложно перейти к классическому пределу (сделав разложение по Н£ в квадратных скобках). Если же мы намерены учесть квантовые особенности движения, то удобно в (8) перейти к компонентам Фурье потенциала

Щх) = j

Тогда уравнение (8) приводится к виду ut тих \

2тг

_S-

(9).

169

Отметим, что это же уравнение можно понимать и как уравнение с са­мосогласованным полем, причем средний заряд выражается через функ­цию Вигнера так же, как через классическую функцию распределения. Учитывая это, несложно было бы найти спектр колебаний квантовой плазмы, но тут мы закончим.

170

Список литературы

[1] Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1995.

[2] Румер Ю.Б. и Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая фи­зика и кинетика. М.: Наука, 1977.

[3] Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967.

[4] Лифшиц Е.М. и Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

Дополнительная литература

[5] Хуанг Керзон Статистическая механика. М.: Мир, 1966. [6] Фейнман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1975. [7] Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. [8] Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. [9] Исихара А. Статистическая физика. М.: Мир, 1973. [10] Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов М.: Наука, 1971.

[11] Кондратьев А.С. и Романов В.П. Задачи по статистической физике. М.: Наука, 1992.

[12] Боголюбов Н.Н. Собрание избранных трудов. Том 3: Наукова дум­ка, 1971. "О квазисредних ..."

[13] Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.:Наука, 1981.

171

Глеб Леонидович Коткин ЛЕКЦИИ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Подписано в печать Формат 60x80/16

Печать офсетная Заказ Уч.-изд.л. 7,5.

Тираж экз. Цена

Редакционно-издательский отдел Новосибирского университета,участок оперативной полиграфии НГУ; 630090, Новосибирск - 90. ул. Пирогова, 2.

172