14.8 Теплопроводность электронного газа

Пусть в металле имеется градиент температуры, распределение тем­пературы Т{х). Это следует понимать так, что в каждой "точке" есть свое, локальное равновесие и функция распределения — фермиевская, но с локальными значениями температуры. Кроме того непременно есть отклонение функции распределения от равновесной за счет влияния "со­седних" точек.

/(г, р) = /о + 6f,

причем /о зависит от энергии и температуры, а следовательно и от ж, через комбинацию z = |^4 Будем также полагать, что градиент темпе­ратуры мал.

Исходное уравнение

dt дг др т

Поскольку / не зависит от времени и F=0, в левой части уравнения остается лишь слагаемое v_x-^.

Подставим в уравнение ^ = ^§ = -^^§⁷⁹

^Vx де T dx т '

Отсюда определяется 5f⁸⁰.

Sf имеет такую же зависимость от углов, как и в задаче про проводи­мость. Значит, можно провести аналогичные преобразования, выразив ответ через транспортное сечение, так что г - приближение в кинетиче­ском уравнении и в задаче о теплопроводности можно считать вполне обоснованным.

z — _т . ±огда _ат — _{dz т2} , _де — _а, у и _ат — _{де т}

⁸⁰ Мы не стали выписывать ещё одно слагаемое — -£ дт^- Д^ля металла электронный газ выро­жденный, поэтому величина -^ ~ ^ очень мала (см. 7.4) и неучтенное слагаемое отличается то

учтенного в тексте множителем ~ — <С 1.

163

Запишем плотность потока тепла ⁸¹

q_x = I v_xSf ' (e — n)d p = — • — / (е —

Легко видеть, что v² под интегралом можно заменить на |г>², после чего можно записать также

p

™ ЗтТ dx J ^v ^ де здесь

73

d³p = p(e)de,

где

Мы пришли к интегралу вида

(учтено, что F(0) = /0(00) = 0). Применяя формулу, полученную в п.7.3, находим

J = - ²"

В нашем случае F{e) оа {е — n)²sv(s), поэтому вклад в интеграл даст лишь второе слагаемое и притом оба дифференцирования должны быть применены к первому сомножителю. Итак,

dT Ът№ -K²nTrdT

dx 3mT 6 ^v^^y 3m dx

Множитель при — ^ и есть коэффициент теплопроводности к =

Сравнивая коэффициент теплопроводности с проводимостью, получа­ем

X _7Г²Т

а~Зе²

— соотношение, называемое законом Видемана-Франца. Задача. Выразить поток тепла через скорости и энергии квазичастиц.

⁸¹Так как речь идет о переносимом тепле, надо учесть, что 6Q = TdS = dE — /idN = d(e — n)dN.

В процессе теплопроводности принимают участие электроны с энергиями, близкими к энергии Ферми, для которых е = |е — /х| <С /х. Происходит перенос квазичастиц с энергией е. Как и в задаче о теплоемкости, молено проводить расчет в рамках картины частиц, но теперь нужно отсчитывать энергию, переносимую электроном, от уровня Ферми.

164

14.9 Термоэлектрические эффекты

Пусть помимо градиента температуры есть и электрическое поле, параллельное оси х\ кинетическое уравнение приводится к виду

„ ^/о df₀ e-fi dT df

eEv_x— v_x— —- • — = ,

as as T dx т

откуда плотность потока тепла

т dT ^Ь = Т ■ Т и плотность тока

Первые слагаемое вq_x и j_x, нам уже известны (это —х% и аЕ), вторые — новые. Оба они выражаются через один и тот же интеграл. Вводя обозначение

P = ef{e-n)v\ получаем

7ЛТ1

Здесь а = /3/Г.

Величина /3 легко выражается:

о

Примем для упрощения записи, что г не зависит оте, и подставим v\

тг²пеТ²т

Вэксперименте по измерению теплопроводности образец не включаютв замкнутую цепь. Пусть на концах образца температуры Т\ и Т^, а ток равен нулю, j_x = 0. Тогда в образце согласно уравнению (**) появляется электрическое поле

dx 165

а для потока тепла из (*) получаем

Р² dT

⁾

7/TI

Коэффициент при — ^ и надо было бы называть коэффициентом теп­лопроводности. Однако

так что поправка мала.

Однако появление электрического поля, обусловленного градиентом температуры, — новое явление. Чтобы наблюдать его, нужно сделать за­мкнутую цепь из разных проводников; для каждого из них величина Q имеет свою величину, и поэтому по цепи пойдет ток. Это явление называ­ется эффектом Зеебека, а величина Q — абсолютной дифференциальной термоэдс.

Это явление используется, например, в термометрах на основе тер­мопар. Его использовал капитан Немо для подзарядки аккумуляторов "Наутилуса".

Характерная величина термоэдс для металлов Q ~ 10~⁸В/К.

В каком-то смысле обратное явление получается при пропускании то­ка по кольцу, спаянному из разных проводников; даже в случае, когда все кольцо находится в термостате, по проводникам пойдет поток тепла:

q = Uj, П = /3/сг

(величины П называются коэффициентами Пельтье). Ток по кольцу идет один и тот же, а коэффициенты Пельтье для разных веществ различны, в результате на спаях выделяется или поглощается тепло. Это явление называется эффектом Пельтье. Его иногда используют в холодильниках.

Равенство П = QT называют соотношением Кельвина.

Обсуждавшиеся эффекты были открыты и исследованы эксперимен­тально. Есть еще много различных подобных эффектов и соотношений, и есть методы их теоретического исследования, относящиеся к неравно­весной термодинамике.