14.7 Кинетическое уравнение для электронов в металле

В современной теории металлов рассматривается движение элек­тронов в периодическом потенциале, что приводит к сложной зависимо­сти энергии от квазиимпульса. При этом большая часть взаимодействия между электронами может быть отнесена к самосогласованному перио­дическому полю, а электроны рассматриваются как квазичастицы.

Мы будем рассматривать электроны как свободные частицы, для ко­торых энергия е = р² /2га ⁷⁸.

Будем считать, что электроны в металле упруго рассеиваются на при­месях. При упругом рассеянии на примесях распределение по энерги­ям не меняется, а меняется только распределение по углам. Это значит, что процессов установления распределения Ферми мы не рассматриваем, считая, что они происходят гораздо медленнее, чем учитываемые нами. Тогда интеграл столкновений выглядит гораздо проще:

/уход = / w(p -> р')/(г,р,£)</У

⁷⁸ Главную роль в кинетических явлениях (как и в задачах статистической физики) играют элек­троны, энергия которых близка к энергии Ферми. Поверхность Ферми может очень отличаться от сферической и оказывается, как правило, совершенно различной для различных металлов. Мно­гое из дальнейшего сохранится и при несферической поверхности Ферми, но мы этим вопросом заниматься не будем.

159

/приход = / w(p^r -> p)f(r,p',t),t)d³p'.

Вероятности w(jp —> р'),ги(р' —> p) содержат 6(e(jp) — e(p')), так что фактически в интеграле остается только интегрирование по углам. Тогда уравнение

) vf(v, р', t)du'.

Здесь по — концентрация примесей. Записывая интеграл столкнове­ний, мы не учли принцип Паули, который должен запретить переходы в состояния, уже занятые. Покажем, что учет принципа Паули не изменит вида интеграла столкновений.

Введем ненадолго функцию распределения, нормированную, как в за­дачах о квантовых газах, т.е.

_f Тогда суммарный поток (- уход + приход):

- /V)) + "(Р' "> Р)/(Р')(1 - /(Р))

так как вероятности w(p —> р') и w(p' —> р) равны. Таким образом, принцип Паули одинаково подавляет переходы туда и обратно и оказы-

вается "вне игры".

Определим ток, текущий в металле под действием постоянного одно­родного электрического поля, которое естественно считать слабым.

Будем рассматривать функцию распределения как и раньше: / = /о + 6f. Интеграл столкновений представим в виде (т-приближение)

т

Интеграл ухода имеет как раз такой вид, а для интеграла прихода -это не очевидно (и выполняется не всегда). Тем не менее и для интеграла прихода это впоследствии может оправдаться и оправдается именно в нашей задаче.

160

Решение задачи мы разделяем на два этапа: сначала выразим плот­ность тока в т-приближении, а затем покажем справедливость этого при­ближения и выразим г через сечение рассеяния.

Во многих других задачах даже первый этап такой программы да­ет важные результаты (а второй — наоборот, редко бывает успешен и эффективен).

Итак, пусть есть слабое электрическое поле вдоль оси х, а функция распределения не зависит ни от координат, ни от времени. Тогда сила:

F_x = eE_x. Уравнение:

ofo of

др_х т сразу же разрешается

Sf = -еЕт^; (1)

так что можно выразить плотность тока:

где

v_xfd⁶p = е / 5fv_xd⁶p = -е^гЕт / v_x^d⁶p = / f_od⁶p = aE,

J J дР rn J

а = , п = / к<Гр,

m I

где г - время релаксации, п - концентрация, а - проводимость.

Результат мгновенно обобщается на случай переменного поля: 5f, E ос _е-шг Тогда ш —> —iuo. При этом в левой части уравнения появляется —icjdf, а — ^г —>■ — £/(* — га;), то есть г —>■ ₁_^_т. Значит, в переменном поле проводимость

а =

пе²т

га(1 — гиот) Если ввести диэлектрическую проницаемость

._{N л} 4тгсг . е{и) = Ц г,

из

то можно получить выражение потерь, коэффициенты отражения для разных поляризаций и частот и т.п. — причем все выражается через один параметр г, который к тому же входит в статическую проводи­мость. Для меди, например, такая совокупность формул справедлива до инфракрасного диапазона частот. Перейдем ко второй части задачи.

161

Убедимся, что для рассеяния на примесях интеграл столкновений дей­ствительно можно представить в виде I = —ф. Интеграл столкновений можно записать так:

Г fda

5f(pr)dU^f - щ [v¹ (%-) Sf(p)dU^f

здесь р' = р, v' = v, а дифференциальное сечение рассеяния зависит от

угла между рир'.

Во втором слагаемом Sf(p) можно вынести из-под знака интеграла. С первым слагаемым — сложнее. Преобразуем его отдельно для конкрет­ного вида 5f (1):

Г (da

Здесь зависимость от переменных интегрирования

Разобьем вектор р' на две составляющие — вдоль вектора р и поперек:

Р' = Р'ц + Р ± = Р cos в + р'_±.

На время интегрирования выберем ось сферических координат вдоль вектора р. Тогда (Ю! = sin9d(f)d9,

р'_± = р sin 0(cos ф, sin ф, 0)

в этих временных координатах. Зависимы от ф только компоненты р'^ и при интегрировании по этому углу они дают ноль.

^mv'x =Р'х = (Р\\)х + (Р±)х -> Рх COS в

поэтому в интеграле останется только слагаемое р'м = pcos#

/» 7 /» 7

I =—еЕтпоУ

os

Итак,

/ v_x cos 0--rdQ! = — Sfv'riQ / ---cos 9dQ,'. J dil J dil

1 С А

— = щ • v / -jpz(l — cos$)dQ = щ • v<Jtr, т J dil

где atr - транспортное сечение; множитель (1 — cos#) приводит к по­давлению вклада рассеяния на малые углы (которое мало меняет ток) и

162

подчеркивает вклад рассеяния на большие углы (сильно ослабляющего ток). Если примеси заряженные (кулоновские центры), то вычисление Gtr ос J у даст при малых углах логарифмическую расходимость. Ре­зультат окажется конечным, если учесть отличие поля примеси от куло-новского, обусловленное экранированием заряда.