14.5 Уравнения гидродинамики

Из кинетического уравнения можно получить уравнения гидродина­мики, описывающие движение газа более грубо, без явного учета отличия скоростей молекул газа в каждой точке пространства от некоторой сред­ней скорости.

Проинтегрируем обе части кинетического уравнения

dt dr dp

по d³p. Учтем при этом, что jF^d³p = 0, т.к. он сводится к интегра­лу по бесконечно удаленной поверхности в пространстве импульсов, где функция распределения обращается в нуль; J /(r, p, t)d³p = 0 (смысл последнего равенства в том, что число частиц при столкновении сохра­няется). В итоге получаем

dt ⁺ дт

а после умножения на массу частицы

dt

+ divpV = О,

уравнение непрерывности.

Если умножить обе части кинетического уравнения на компоненту им­пульса р_а, проинтегрировать по d?p и учесть, что при каждом столкнове­нии сохраняется суммарный импульс сталкивающихся частиц, J p/(r, p, t)d?p 0, то получим уравнение

| f^ = 0. (39)

Здесь Л_ар = J p_avpfd?p — тензор плотности потока импульса. Пусть средняя скорость газа равна нулю. Представим себе находящуюся в га­зе единичную площадку, перпендикулярную оси хр. Тогда величину П_а^ можно понимать как а-ую компоненту силы, с которой газ, находящийся с одной стороны этой площадки, действует на нее. Если распределение по скоростям изотропно, то И_ар = Р5_ар, где Р — давление газа. Если же средняя скорость V отлична от нуля, v = V + v', но изменяется в

155

пространстве очень плавно, то в системе отсчета, движущейся со ско­ростью V, распределение по скоростям v' можно считать равновесным, в частности, изотропным. Тогда И_а/з = Р5_ар + pVaVp, ^и уравнение (1) сводится к уравнению Эйлера:

CVy )V = — gradP. p

пГ + CVy )V

at or p

Если характерное расстояние L, на котором средняя скорость заметно изменяется, не очень велико по сравнению с длиной свободного пробега I, то распределение по скоростям v' оказывается анизотропным (т.к. в избранную нами точку попадают частицы из других точек, где средняя скорость иная). В случае, когда все-таки L ^> I, в тензор потока импульса добавляются вклады, пропорциональные ^ и ^-, определяющие вяз­кость газа. С учетом этих вкладов из уравнения (1) можно получить уравнение Навье - Стокса.

14.6 if-теорема Больцмана

Движение газа, удовлетворяющее кинетическому уравнению, приво­дит к возрастанию энтропии. Это утверждение традиционно называют if-теоремой Больцмана. Он ввел if-функцию:

= J /(г, р, t) In /(r, p, t)d³rd³p,

которая лишь знаком отличается от энтропии ⁷⁵ газа в неравновесном состоянии .

Теорема. Функция Н не возрастает со временем.

Доказательство приведем для случая ^ = 0 иF = 0.

Составим производную функцииН :

dH ~dt

и подставим -Л = I из кинетического уравнения.

Т тто

dt

^= [l(l + \nf)d³rd³p. at I

⁷⁵Точнее говоря, еще и на константу, равную числу частиц, см. раздел 3.3 .

156

Учтем, что интеграл / по всему пространству равен нулю (полное число частиц не изменяется при столкновениях):

/ Id³pd³r = О

щр, Pi -> Р _s Р i)(-//i + / /1

Заметим, что если поменять конечные и начальные частицы ролями, то должны получить ту же вероятность ⁷⁶ :

w(P, Pi -> р', p'i) = ™(р', p'i -> Р, Pi)-

Заметим также, что вероятность не изменится, если поменять части­цы местами: р ^ pi, p' ^ р\. Это означает просто перемену обозна­чений частиц. Если же сделать такую замену переменных в интеграле, то изменение подынтегральной функции сведется к замене под знаком логарифма In/ —> ln/i.

После замены (в исходном интеграле) р ^ р', pi ^ р'_х нужно будет поставить под знак логарифма /' вместо / и изменить знак подынте­грального выражения.

Наконец, замена (в исходном интеграле) р ^ p'_l5 pi ^ p' приведет к замене / под знаком логарифма на /{ и изменению знака подынтеграль­ного выражения.

Таким образом, данное выражение можно представить четырьмя раз­личными способами. Сложив и разделив на четыре, получим

так как {х — у) In - > 0.

Итак, Щ- < 0. Для распределения Максвелла //i — f'f[ = 0. Теоре­ма доказана. Таким образом, уравнение Больцмана описывает необрати­мые процессы. Между тем, оно было получено из уравнений механики, обратимых по времени. Конечно, причина появления необратимости в использовании понятия вероятности рассеяния, подразумевающей моле­кулярный хаос.

⁷⁶ Сечение, входящее в выражение w, при заданной величине относительной скорости зависит

только от угла рассеяния — угла между векторами р — pi и р' — р'_х

157

Эта теорема вызвала бурную реакцию современников. Появились воз­ражения. Чтобы понять их серьезность, надо иметь в виду, что многие физики (и химики) считали молекулы плодом фантазии, хотя и удоб­ным инструментом для рассуждений. Некоторым основанием для этого был провал попыток найти "объяснение"уравнений электродинамики с помощью механических моделей. Поэтому возражения были направлены не просто против уравнения Больцмана — фактически речь шла о том, что у сторонников молекулярной теории концы с концами не сходятся. Наиболее серьезные возражения были связаны с теоремой возврата Пу­анкаре и с обратимостью уравнений механики по времени.

Пуанкаре была доказана теорема, что любая механическая система, заданная гамильтонианом, не зависящим явно от времени, и совершаю­щая финитное движение, рано или поздно приблизится как угодно близ­ко к исходному состоянию.

Цермело заметил, что согласно этой теореме должны были бы проис­ходить невиданные явления, скажем, все молекулы газа могли бы сами собой собраться в одной половине сосуда.

Больцман ответил: — Вам придется слишком долго ждать.

Мы оценивали (зад.2 к разделу 2.1), что появления в объеме аудито­рии в хвосте максвелловского распределения молекулы с энергией боль­ше 4 эВ придется ждать дольше возраста Вселенной.

Лошмидт⁷⁷ заметил, что состояние, в котором все молекулы имели бы строго противоположные скорости, столь же вероятно, как то, которого достиг газ. Поэтому при обращении всех скоростей процессы должны были бы идти в обратном направлении, и это столь же вероятно, как процессы с ростом энтропии.

Больцман ответил: — Обратите скорости. (Однако в формулировку утверждения о росте энтропии внес поправку: "Энтропия растет почти всегда").

А вот это (обратить скорости) мы можем и пробовали — для компью­терного газа. И знаем, что движение все равно фактически необрати­мо. Задать начальное состояние абсолютно строго невозможно. Задается "капелька" в фазовом пространстве. В процессе движения, особенно при столкновениях, эта капелька в некоторых направлениях сильно вытяги­вается (сжимаясь в других — по теореме Лиувилля). Спустя время ка-

⁷⁷Лошмидт был сторонником молекулярно- кинетической теории, он придумал один из первых способов определения числа Авогадро. Однако в существование молекул поверили лишь после опы­тов Перрена по броуновскому движению, полностью подтвердивших расчеты Эйнштейна и Смолу-ховского.

158

пелька превращается в "амебу", заполняющую большую область, причем между щупальцами находятся точки, пришедшие из других мест фазо­вого пространства. Обратив скорости, мы снова задаем капельку, кото­рая лежит теперь почти только на этих чужих точках и "почти всегда" пойдет в другие места. Именно очень быстрый рост расстояния между первоначально близкими траекториями приводит к возникновению "мо­лекулярного хаоса".

Таким образом в полностью определенной динамической системе воз­никает хаотическое движение. Изучение связанных с этим вопросов пред­ставляет собой активно развиваемую область на границе физики и ма­тематики.

Н.Н. Боголюбов предложил (а ряд последователей развили) способ получения уравнения Больцмана, позволяющий также получать в опре­деленном смысле и "следующие приближения". Разумеется, построены также версии уравнения Больцмана для смеси газов, уравнения, учиты­вающие неупругие столкновения и т.п.