14.4 Интеграл столкновений

Теперь рассмотрим случай взаимодействия частиц на малых расстоя­ниях (столкновения). При этом можем считать, что объем, занимаемый взаимодействующими частицами, dV достаточно велик, чтобы измене­ния координат при столкновении можно было не учитывать — меняются только импульсы. Кинетическое уравнение:

|_+v|_+F

dt дт

где / - интеграл столкновений частиц.

Будем, как и прежде, задавать для частицы г и р, а взаимодействие — сечением рассеяния. Спин, ориентацию частиц и изменение их вну­треннего состояния учитывать не будем.

По отдельности следует рассмотреть приходящие в элемент фазового объема и уходящие из него частицы

/уход(р) = / Цр,Р1 -> p',p'i)f(^,P /приход(р) = J Цр', p'i -> P, Pi)/(r, р', *)/(r, р'_ь

В (1) следует подставить /(р) = /приход - /уход-

Мы принимаем далее, что происходят только упругие столкновения. Входящие в интеграл столкновений вероятности могут быть выражены через сечение рассеяния:

«отн*(р + Pi - Р' - p'i)*(e(p) + e(pi) - е(р') - e(p'i)) (38)

Здесь г^отн = |pi ~ р|/г7г — относительная скорость частиц. Интегриро­вание (^-функций превращает интегрирование по d^p'd^p'^ в интегрирова­ние по углам, определяющим направление рассеянных частиц,телесный угол отвечает направлению Voth- (В таком виде уравнение и было напи­сано Больцманом.) Однако нам удобнее сохранить симметричную форму записи. Заметим, что столкновения частиц представлены в кинетическом уравнении только сечением, сам же процесс столкновения может описы­ваться квантовой механикой.

Для многих задач физики плазмы взаимодействие частиц учитыва­ется с помощью самосогласованного поля, а парными столкновениями

153

можно вообще пренебречь. Но есть задачи, где интеграл столкновений оказывается необходим. Например, в плазме, нагреваемой проходящим через нее током, температуры электронного и ионного газов оказывают­ся различны, а выравнивание этих температур может быть обусловлено столкновениями частиц. Сечение столкновений заряженных частиц (ре-зерфордовское сечение) очень сильно возрастает при малых углах рассе­яния (больших прицельных параметрах), поэтому отдельные слагаемые в интеграле столкновений расходятся. Большая часть столкновений про­исходит на очень малые углы, т.е. с очень малым изменением импульса частиц. Учитывая это, Ландау преобразовал интеграл столкновений к форме, где расходимости явно взаимно скоменсированы. Идея и резуль­тат сходны с задачей о диффузии (но есть и различия — интеграл столк­новений остается нелинейным по функциям распределения в отличие от слагаемых в уравнении Фоккера - Планка). Подробнее об этом можно прочесть в [2, 4]. Задачи

1. Провести в (1) интегрирование по d^zp'd^zp'_b "снимающее" дельта- функции. Удобно перейти к новым переменным — скорости центра масс пары сталкивающихся частиц и их относительной скорости.

2. Получить из кинетического уравнения вид равновесного распреде­ ления по скоростям в газе в отсутствие внешних полей.

Решение.

Очевидно, что искомое распределение должно быть пространствен­но однородным, функция распределения не зависит от t и г. По­скольку также F = 0, получаем / = 0. Распределние должно быть изотропным, функция распределения может зависеть только от мо­дуля р, т.е. только от энергии. Условие / = 0 сводится к равенству f(s)f(si) = /(e')/(ei) при условии е + е\ = е' + е'_ъ иначе говоря, f(s)f(s\) = F(E), где Е = е + е\. Записав это равенство в виде \ogf{e) + log f(E — s) = logF(E), продифференцируем его по s:

,1

/И /(ei)

Поскольку значения е и е\ произвольны, это равенство означает, что f'(s)/f(s) = —/3, где (3 — постоянная, не зависящая от е. В итоге получаем

f(s) = е«-*,

154

т.е. распределение Максвелла.