14.3 Затухание Ландау

Вернемся к дисперсионному соотношению. Под интегралом знамена­тель обращается в ноль при v_x = из/к. Это равенство совпадает с услови­ем черенковского излучения плазменных волн электроном. Но в данном случае могут происходить процессы, обратные черенковскому излуче­нию, в результате которых энергия волны передается электронам.

Ландау действовал аккуратнее Власова, поставив задачу с начальны­ми условиями. Сделав преобразование Лапласа по времени, он понял, как обращаться с полюсом. Мы приведем соображения, лишь поясня­ющие более строгий вывод Ландау. Будем считать, что поле (возмуще­ние) возникло и постепенно нарастало со временем, т.е. Sf, E —> 0 при t —У — оо. Для этого заменим ш —> ш -\-it e —У 0. Вычисляя интеграл

dfo

dp_x

ге

выделим лишь добавку, дающую качественно новый результат. Полюс лежит чуть выше оси р_х. Можно сместить его на ось, но при интегри­ровании нужно будет обходить полюс снизу. Это значит, что надо взять пол вычета в точке v_x = u)/k :

др_х

т

—тгг

р_х=тш/к

Дисперсионное соотношение принимает вид

— ттг-

.4тте² mdfo

кк др_х

р_х=тш/к

Вплоть до этого места можно было не делать различий между ионизиро­ванным газом и плазмой в металле. Для максвелловского распределения dfo _ _fo£g. в этом случае получим

т .dfo ——тгг

р_х=тш/к

ехр —

150

Здесь проинтегрировали по р_у и p_z и в силу нормировки получили еди­ницу, остается вычислить интеграл по р_х. Преобразуем все вместе

и² k²{v²) т А-кпе² ( т²и^{2 х}

Преобразуем показатель экспоненты:т²и² т

2тТк² ~ 2Тк² \"° ^+U m) ~ 2k²r²_D

4тгпе² 1

ГГ

дебаевский радиус. В итоге

k²{v²)

2щ где

1

⁷⁼2

Получившаяся малая добавка означает появление поглощения, называе­мого затуханием Ландау.

Картину взаимодействия электронов с волной, удобно представить в системе отсчета, которая движется со скоростью волны и/к. В этой си­стеме электрическое поле волны представляет собой ряд потенциальных ям глубины фо ~ Е/к. Большая часть электронов имеет в этой системе отсчета энергию большую глубины ям и движется, периодически уско­ряясь и замедляясь. Те же электроны, для которых в лабораторной си­стеме v_x ~ и/к, должны колебаться в потенциальных ямах с частотой ^ л/кЕ/т. В лабораторной системе те электроны, которые слегка опережают волну, отражаются от убегающей от них "стенки", за­медляются и передают волне энергию, а более медленные — отражаются от догоняющего их края потенциальной ямы и ускоряются. Более бы­стрых — меньше: щ- < 0. В такой картине подразумевается, что волна достаточно слабая, чтобы второе отражение не успело сыграть роль, как волна уже сильно затухнет, ⁷⁴ Q, <С 7-

⁷⁴Если это условие не выполнено, то затухание оказывается более медленным и даже могут про­исходить осцилляции интенсивности волны, если ускорившиеся было электроны отражаются то от одного края потенциальной ямы, то от другого — то замедляясь, то ускоряясь. Задачу о нелинейном затухании Ландау решили Л.М. Альтшуль (НГУ) и В.И. Карпман (ИЯФ).

151

Пусть сквозь плазму идет пучок электронов. Тогда на кривой f(p_x) должен быть максимум, отвечающий скорости частиц пучка, и для неко­торого интервала скоростей окажется J^- > 0; для некоторого интервала значений к вместо затухания появляется нарастание волн за счет энергии пучка. Это пример неустойчивости плазмы — явления, имеющего перво­степенное значение для работ по управляемым термоядерным реакциям (как помеха). Это же явление может быть использовано для создания генератора колебаний (обычно — в твердотельной плазме) просто при прохождении по образцу достаточно сильного тока.

Рассмотренное явление является примером недиссипативного погло­щения волн. Пока соударения несущественны, затухание определяется "перекачкой" энергии от упорядоченного волнового движения к отдель­ным "резонансным" группам электронов. При этом некая упорядочен­ность тоже есть, так что эта энергия может снова проявиться в каких-то колебаниях. Примером этого служит явление, называемое плазменным эхом. Пусть поток плазмы проходит через сеточку, на которую пода­но переменное напряжение. При этом плотность потока модулируется, но на некотором расстоянии "вниз" по потоку модуляция исчезает из-за затухания Ландау. Поместим еще ниже по потоку еще одну сеточку и вновь промодулируем плотность — с иной частотой. Эта модуляция тоже затухнет, но еще ниже, на определенном расстоянии "сами собой" возникнут колебания (а потом уж — совсем затухнут).

Явление нелинейного эха наблюдается в самых разных средах. Про­стой расчет явления нелинейного эха для максвелловского газа без столк­новений можно найти, например, в книге [4],§35.

Особенно широко применяется спиновое эхо в работах, связанных со спиновым парамагнитным резонансом. Разработаны сложные последова­тельности сигналов, позволяющие в конце концов весьма избирательно действовать на систему спинов (например, как бы "выключать" взаимо­действие каких-то определенных магнитных моментов).

Задачи

1. Найти s(uj, к) при и ^

2. Найти е(ш, к) при ш = 0.

152