14.2 Ленгмюровские колебания плазмы

Движение частиц в плазме очень подробно изучено. Это важный объект исследований, было и проводится множество экспериментальных работ. Более всего интересна горячая плазма, в которой парные взаимо­действия частиц играют малую роль. Определяющую роль играют кол­лективные взаимодействия. Мы будем считать плазму полностью иони­зированной.

Другой объект, к которому относится излагаемая теория, — электрон­ная плазма в металлах (и, с минимальными изменениями, в полупровод­никах) .

Мы рассмотрим лишь один вид колебаний частиц в плазме (плазмен­ные, они же — ленгмюровские). Это колебания, которые возникают, если в какой-то момент нарушена взаимная компенсация зарядов в простран­стве. В этом случае в плазме появляются электрические поля, вызываю­щие движение частиц, в первую очередь — электронов.

Такие колебания знакомы из курсов электродинамики и физики сплош­ных сред. Мы учтем тепловой разброс скоростей электронов и увидим, что это приводит к некоторым качественно новым результатам.

Движением ионов, массы которых много больше массы электронов, пренебрегаем. Ионы образуют только неподвижный положительный "фон", компенсирующий плотность заряда электронов в состоянии равновесия.

Пренебрегаем парными соударениями (/ = 0) и получаем уравнение, называемое в теории плазмы уравнением Власова:

at or op

Электрическое поле определяется уравнением Максвелла

div~E =

⁷³Для ускорителя ВЭПП-4М, например, а_х = 1мм, а_у = 0,03мм, /З_х = 75см, jiy = 5см, дли­на сгустков частиц cr_z = 5 см, фокусные расстояния линз порядка нескольких метров. N = z) exp {-{z ± ct)²/2a²_z).

147

Функцию распределения электронов можно представить в виде

где /о — равновесная функция распределения. Если в выражение для р подставить равновесную функцию /о, то с учетом заряда ионов, есте­ственно, получим ноль. Значит, р = е J 5fd?p. Разумеется, это среднее значение плотности. Подставляя его в уравнение Максвелла, мы факти­чески отказываемся от исследования явлений в очень мелком масштабе, подразумевается, что в "физически бесконечно малом" объеме фазового пространства содержится много частиц.

Подобный способ учета взаимодействия частиц, называемый методом самосогласованного поля, уже встречался нам при определении поправок к термодинамическим величинам плазмы.

Мы рассматриваем малое отклонение от равновесия: 5/иЕ должны считаться малыми величинами, притом одного порядка малости. Произ­ведем линеаризацию уравнения:

asf asf

ot or op

В последнем слагаемом стоит /о, так как множитель Е — уже малая величина. Будем решать уравнение, полагая, что 5/иЕ разложены в интеграл Фурье по г и t. Для отдельных компонент Фурье (значки ш и к мы опускаем)

Е, Sf ос e^ikr-^iwi.

Выберем ось х параллельную вектору к. Тогда

+ ^v

-i(u - kv_x)Sf + eE^ = 0.

ОРх

Запишем еще уравнение Максвелла

гкЕ = 4тге / 5fd³p. Находим

Ор_х и - kv_x подставляем в уравнение Максвелла и сокращаем на Е

₁ 4тге²

к J др_х и- kv_x

148

Это уравнение называют дисперсионным. Оно определяет зависимость ш(к).

Можно сделать предположение, которое в дальнейшем оправдается, что частота и длина волны колебания велики, так что его фазовая ско­рость превышает тепловые скорости электронов: ш/к ^$> vt- Тогда можно сделать разложение

7 / 7 \ 2 / 7 \ 3

kv_x ( kv_x \ ( kv_x \ + —+ — + — +...

UJ — KV_X UJ \ UJ \ UJ J \ UJ

Первое и третье слагаемое при подстановке в (1) дадут ноль. Второе слагаемое даст интеграл

/» 00

dpydp_z - I f₀d³p = -п.

= / Pxfo

p_x=-oo

Четвертое — аналогично второму

[рф/р = -3 j f*pld^SP = -3n<rf> = -n{p²).

В итоге:

4тгпе² /

^{1 =} 2" ¹⁴

raur \ с

Введем плазменную частоту

₂ 4тгпе² т

Тогда

где k²(v²) - малая поправка.

ш = и₀ +

k²{v²) 2о;₀

Начальное возмущение в виде неоднородного распределения заряда колеблется с частотой ujq. Учет разброса скоростей частиц плазмы приво­дит к тому, что область возмущения смещается и расплывается (подобно волновому пакету частицы в нерелятивистской квантовой механике).

В плазме есть еще много других видов колебаний.

149