14.1 Кинетическое уравнение

Далее будем рассматривать классические объекты, т.е. описывать ча­стицы координатой и импульсом (для электрона в металле - координатой и квазиимпульсом).

Удобно использовать канонические переменные. Если частицы не вза­имодействуют друг с другом, то в процессе движения некоторой группы частиц с близкими значениями координат и импульсов согласно теореме Лиувилля сохраняется занимаемый этой группой частиц объем в фазо­вом пространстве. Следовательно, сохраняется концентрация частиц при движении вдоль траектории в фазовом пространстве /(r(£), p(t), t). Для этой функции (далее -функции распределения) выполняется уравнение ^ = 0. Подробнее

a/ 0/dr , 3/dp₌ dt drdt dp dt

или

dt dr dp

где v - скорость частицы, a F - действующая на нее сила. Через функ­цию распределения можно выразить концентрацию частиц, плотность

79

их потока и другие величины .

n(r,t) = I f(r,p,t)d³p, j(r,t) = I vf(r,p,t)d³p. (37)

(Наша функция распределения нормирована так, что J /(r, p, t)d³pd³r =

⁷²Нам понадобятся далее, в частности, плотность газа p(r, t) = тп, его средняя скорость в данной точке V(r, t) =}/п, (здесь т — масса частицы).

144

Подчеркнем, что вводя функцию распределения, мы подразумевали, что элемент объема в фазовом пространстве cPpdV, достаточно велик, чтобы в нем находилось много частиц, так что функция распределения оказывается относительно гладкой функцией своих переменных. (Напо­мним, что понятие "физически бесконечно малого" объема знакомо нам, например, по задачам электродинамики сплошных сред; правда, там это был объем в обычном пространстве.) Подобным же образом, элемент времени dt в определенном смысле тоже достаточно велик.

Рассмотрим вопрос о взаимодействии частиц друг с другом. При этом важно, каковы силы взаимодействия между ними — короткодействую­щие (молекулярные) или длиннодействующие (кулоновские).

Для первого случая надо рассматривать соударения, которые проис­ходят обычно на малых расстояниях, т.е. для рассматриваемых объемов dV и интервалов времени dt — просто в точке и мгновенно. Поэтому частица может мгновенно попадать в элемент фазового объема или по­кидать его. Кинетическое уравнение приобретает вид

df Of Я/ _ — + v—- + F—- = /, dt dr dp

где / - так называемый интеграл столкновений, обязанный существова­нием близким парным столкновениям.

Кинетическое уравнение было получено и исследовано Л. Больцма-ном.

Для длиннодействующих сил нужно учитывать одновременное взаи­модействие со многими частицами.

В любом случае учет взаимодействия будет приближенным.

В том случае, когда взаимодействие частиц друг с другом можно не учитывать, / = 0, решение кинетического уравнения имеет вид

/(r, v, t) = /₀(г - r_o(t), v - vo(t)), где/₀(г, v) = /(r, v, t)|_i=0,

a To(t) — закон движения частицы в поле сил F, Vo(t) = To(t).

Задача

На ускорителях со встречными пучками сгустки частиц фокусируют­ся в точке встречи (см. рис.20). Примем, что при z = 0 распределения частиц каждого из пучков по поперечным координатам х, у и по углам отклонения 9_Х, 9_У скорости от оси z гауссовы:

N ( х² у² 9²

2 A?

f(x,y,9_x,9_y)= ₂ '\ _Л ехр^ ^У

145

где N — числ( неограниченнь также, что ско малы, так что

1,ем считать пучки

z. Можно принять

задаче углы в_х,в_у

Рис. 20: Форма пучков частиц вблизи области столкновения.

Найти функцию распределения при z ф 0, концентрацию частиц пуч­ка п(х, у, z). Найти число соударений частиц встречных пучков на участ­ке dz, если сечение соударения равно crj_ni.(3T0 сечение достаточно мало, чтобы не влиять на концентрацию частиц в пучках.)

Взаимодействием частиц в пучках друг с другом можно пренебречь.

Решение

Зависимость от времени функции распределения при свободном дви­жении частиц: /(г, v, t) = F(r — vt, v) = Fi(x—c0_xt, y—cO_yt, z—ct, 0_x, 0_y). В нашем случае зависимости от времени нет. Это возможно, если функ­ция F\ зависит от своих аргументов через линейные комбинации

х — cO_xt — 0_x(z — ct) = х — 0_xz, у — cOyt — 0_y(z — ct) = у — 0_yz. Учитывая вид функции распределения при z = 0, получаем

/(х,у,г,в_х,ву) =

N

exp -

(х - O_xzf (у - 0_yz)''

2oJ

_A

Концентрация частиц в пучке

f N ( x² у² \

n(x, y,z)= / fd0_xd0_y = „ exp -—- - —^ ,

i TV CT CT \ £CT £CT I

где

* = ^(1 + z²IPl), *²_V = C7²(l + z²/(3²_v), (3_X = a_x/A_x, (3y = ay/Ay.

146

Число соударений в секунду на участке dz

dp = Gi_nt • 2с • dz / п (х, у, z)dxdy = „ „ dz.

Разумеется, найденные распределения справедливы только на участке между фокусирующими пучки линзами, а сгустки частиц не бесконечны

73