12.3 Пример применения формулы Найквиста

Покажем, как можно находить тепловые шумы в сложных цепях, вы­брав однако простой пример. Найдем корреляцию флуктуации заряда конденсатора, замкнутого на сопротивление (RC -контур).

В контур следует включить шумовую эдс £_ш, после чего можно най­ти ток 1_Ш = £_uJZ{uj\ где импеданс цепи/? (о;) = R + 1/(гиС). Заряд конденсатора связан с током условием I = q, q_u = /_w/(—га;), так что

_сеи

^Чш 1 + iuRC

В равенстве

²

заменим

2тт5{и +

² + u')2RT

⁶⁹Не следует удивляться довольно громкому названию. В математической теории броуновского движения, о которой шла речь в конце раздела 11.2, корректное определение рассматриваемых величин и доказательство этих соотношений требует некоторых усилий.

140

и отбросим общий множитель 2тгд(и + о/), положив о/ = —и . После этого корреляционная функция находится с помощью обратного преоб­разования Фурье.

00

e^lU)tduj

(q(t')q(t' + t))=2RTC² I

2тг(1 + i

— 00

При t > 0 интеграл удобно вычислить, замыкая контур в комплексной плоскости ш полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости. Интеграл по этой полуокружности обращается в нуль, так что корреляционная функция определяется вычетом в точке и = i/RC:

(q{t')q{t' + t)) = 2RTC²2me-^t/^RC/(2тг2г/RC) = При t < 0 контур следовало бы замыкать в нижней полуплоскости. Итак,

— ответ почти очевидный (учитывая, что (q²)/(2C) = Т/2).

Реально спектр шума резистора не является бесконечным, как полу­чалось в расчете. Ограничения могут возникать либо вследствие кванто­вания колебаний, либо — что более реально,— из-за паразитных емкостей и т.п.

Несложно также разобраться с корреляцией нескольких разных вели­чин.

Задачи

1. Паразитную емкость резистора можно представлять себе как вклю­ ченный параллельно ему конденсатор. Показать, что с учетом этого спек­ тральную плотность случайной эдс можно представить в виде (£²)_w = 2T$R{Z(o;)}, где Z{uS) — импеданс такого "усложненного" резистора.

2. Представим себе электрическую цепь, составленную из последова­ тельно включенных сопротивлений R\, R2 и R и индуктивности L. Со­ противления Ri и i&2 находятся в термостатах с температурами Т\ и Тч, а сопротивление R теплоизолировано. Найти установившуюся темпера­ туру сопротивления R, предполагая, что обмен энергией осуществляется только за счет протекающих по цепи токов. (Конечно, это предположение далеко от реальности, задача подчеркнуто методическая).

141

Часть II

Физическая кинетика

Мы уже занимались изредка задачами, включающими зависимость сред­них величин от времени. Физическая кинетика посвящена преимуще­ственно таким задачам. Впрочем, определение границ между статисти­ческой физикой и физической кинетикой, скорее всего, — дело вкуса.

13 Уравнение диффузии

Можно описывать движение броуновских частиц не с помощью урав­нений движения типичной частицы, а с помощью функции распределе­ния. Такой подход удобен и во многих других задачах. Мы продемон­стрируем его на простом примере случайных блужданий.

Будем рассматривать только движение вдоль оси х. Выбираем интер­вал времени At малым, но все-таки гораздо большим, чем при изучении корреляционных функций, в частности, будем считать, что At ^> т, так что ((Ах)²) ос At. Кроме того возможно и регулярное смещение частицы (скажем, в поле тяжести). Выбранная величина At достаточно велика, чтобы скорость успела установиться, поэтому (Ах) ос At.⁷⁰

Пусть вероятность смещения частицы за время At из точки х на рас­стояние Ах задается функцией ии(Ах,х). Это функция, не малая лишь в узком интервале значений Ах и плавно изменяющаяся с изменением х. ^п. Функция распределения по координатам в момент времени t + At может быть выражена через f(x,t):

00

f(x,t + At)= f(x-Ax,t)w(Ax,x-Ax)dAx. (1)

— 00

Считая, что зависимость функции распределения от координат и време­ни достаточно плавная, проведем разложение по At и Ах (там, где это можно):

⁷⁰Из уравнения mv = —av + /случ + тп>д получаем для установившейся скорости идрейф ~ тпд/а = дт, так что (Ах) ~ grAt.

⁷¹В практикуме "Моделирование" мы задавали Ах = (2*random— 1) *h, т.е. принимали w = l/2/i при Ах € (—h,h). Функция же распределения (после нескольких первых шагов At) распространя­лась на область (—x_m,x_m) с x_m ~ ЮЛ.).

142

f(x — Ax, t)w(Ax, x — Ax) = f(x, t)w(Ax, x) —

-Ax—(/(яг, t)w(Ax, x)) + -(Axf—₂(f(x, t)w(Ax, x)). (3)

После подстановки (2),(3) в (1) получаем, что интегрирование по Ах можно проводить независимо от вида функции распределения:

_(A/(M)) ₊ g(B_/M)), (4)

где

(Д^) _ ((Д^)²)

At ' 2 At '

00 00

(Дж>= [ (Ax)w(Ax,x)dAx, ((Ax)²)= f

— 00 —00

Величина В представляет собой коэффициент диффузии и для броунов­ского движения совпадает с найденной ранее величиной D. Уравнение (4) можно представить также в виде уравнения непрерывности

df(x,t) _| dj(x,t) _={)

dt дх

где

—плотность потока частиц. Полученное уравнение — это уравнение диф­фузии. Очевидным образом вывод обобщается на трехмерный случай.

Нередко встречаются случаи, когда подобное же уравнение можно получить для распределения в импульсном пространстве. В частности, это относится и к движению броуновских частиц. Относится это и к рассеянию заряженных частиц, происходящему преимущественно на ма­лые углы. Применительно к движению в импульсном пространстве такое уравнение называют обычно уравнением Фоккера - Планка.

Задачи.

Выразить коэффициенты А я В для случайных блужданий, изучав­шихся в практикуме "Моделирование"(описанных в этом разделе в снос­ке), (полагая At = 1 и (Ах) = —Ь).

Пусть при х = 0 установлена непроницаемая стенка, а величины А и В постоянные. Найти установишееся распределение f(x) (для х > 0).

143

14 Физическая кинетика с кинетическим уравнени­ем

Мы будем заниматься только отдельными вопросами физики газов и физики твердого тела, стремясь скорее проиллюстрировать использу­емый математический аппарат, чем выяснять все существенные особен­ности явлений. Физическая кинетика — область физики более обширная и разнообразная, чем статистическая физика, как по задачам, так и по методам их решения.