12.1 Флуктуации в электрических цепях

В качестве примера величин, флуктуации которых обычно наблюда­ются, возьмем токи в электрических цепях.За счет случайного движения зарядов, происходящего вследствие взаимодействия электронов с атома­ми резистора, совершающими тепловое движение, в цепи возникает ток, имеющий случайные направления и величину, г. Чаще всего о том же самом говорят, что в контуре возникает случайная эдс, S. Тепловые шу­мы в цепях необходимо учитывать при точных измерениях. Начнем с контура, содержащего только катушку индуктивности и резистор.

Уравнение движения для тока имеет вид, полностью подобный урав­нению движения броуновской частицы.

di L- = -Ri + £.

136

Это система с одной степенью свободы, а средняя энергия теплового движения в индуктивности Ы²/2 = Г/2. Очевидные замены позволяют сразу же выписать корреляционные функции случайного тока ⁶⁶

-|*i - t₂\/r) т = L/R, и случайной эдс

В более сложных цепях следовало бы ввести для каждого сопротивления свою случайную эдс, которую следует считать независимой от остальных. Однако для решения подобных более или менее сложных задач удобнее метод, связанный с разложением Фурье (о нем — позже).

Такой же, как для цепей, подход оказывается справедлив и в очень общем случае. Пусть отклонение от равновесного значения какой-то ве­личины, равное х, приводит к изменению энтропии на SS = \fix². Тогда средний квадрат флуктуации (х²) = 1/(3. Будем считать флуктуацию х малой. Скорость изменения ее со временем в процессе релаксации зави­сит от ж и обращается в нуль при х = 0. Сохраняя в разложении этой скорости по х лишь линейный член, и вводя "случайную силу", получаем для релаксации х уравнение:

х = -Хх + /_ra. Тогда можно утверждать, что

(/сл(*1)/сл(*2)>=2(Г//ЗЖ*1-*₂).

Можно обобщить этот вывод и на случай, когда флуктуирующая вели­чина не является независимой от других. Мы не будем этим заниматься.

12.2 Спектральное разложение флуктуации

Нередко в физических задачах, связанных с флуктуациями, факти­чески играют особую роль отдельные компоненты Фурье флуктуации (вспомним хотя бы о рассеянии света). Существенно знание компонент Фурье для понимания явлений в средах с дисперсией, в электрических цепях. Посмотрим сначала, как можно было бы выделить определенную спектральную составляющую флуктуирующей величины. Обычный спо­соб — организовать воздействие флуктуации на прибор, восприимчивый

⁶⁶Разумеется, реально усреднение проводится по времени.

137

к узкой области спектра. Будем представлять прибор гармоническим ос­циллятором с частотой а;, а исследуемую флуктуирующую величину х будем считать силой, воздействующей на этот осциллятор:

у , , ,2 у /.\ (л \

Л + U1 Л = X[t). {L)

Отсюда можно выразить X(t), а затем энергию осциллятора. Как из­вестно, решение уравнения (1) удобно представить в виде ⁶⁷

t

о откуда энергия, полученная осциллятором,

t t

о о

Средняя полученная энергия (e(t)} выражается через корреляционную функцию ф(^ -t₂) = {xit^xfo)) :

t t

(6(£)) = — / (tt\ I (Xt₂C <p\t\ — ь₂\.

0 0

Вычисляя интеграл, введем переменную t' = t\ —1₂ и заметим, что фак­тически в интеграл дает вклад лишь узкая полоса вблизи линии t\ = t₂ (вспомним, как был вычислен средний квадрат смещения броуновской частицы).

00

1 [ ■ I

(^бМ> = 2* / ^dt'^e~^lU) Ф(¹')-

— 00

(Результат действительный, так как ф{Ь) — функция четная). Таким об­разом переданная в единицу времени на частоте и энергия оказывается пропорциональна компоненте Фурье корреляционной функции. Разло­жение Фурье корреляционной функции определяет спектральный состав флуктуации. Несложно было бы видоизменить этот расчет для осцилля­тора с трением,

(2)

⁶⁷Мы полагаем начальную энергию осциллятора равной нулю.

138

и убедиться, что он возбуждается до уровня ~

Чтобы провести разложение Фурье флуктуирующей переменной x(t), ограничим время наблюдения интервалом — t_m < t < t_m (имея в виду, что t_m можно брать сколь угодно большим) ⁶⁸.

x(t) = [ а^е-*"*^; х_и =

— 00 — t_m

Рассмотрим теперь среднее значение произведения компонент Фурье

Воспользуемся, как мы это уже неоднократно делали, тем фактом, что реально вклад в интеграл дает не весь квадрат, на который распростра­няется интегрирование, а лишь неширокая полоса вблизи его диагонали t\ = t₂, и введем вместо t₂ переменную t' = t\ — t^-

-t_m -00

Теперь можно перейти формально к пределу t_m —>■ оо

0J21

где для компоненты Фурье корреляционной функции введено обозначе­ние

— 00

Из вывода видно, что появление «^-функции связано просто с переходом к интегрированию по бесконечному интервалу времени, средний квад­рат компоненты Фурье должен быть пропорционален этому интервалу. Величина же (х²)_ш определяет спектральный состав флуктуации.

⁶⁸ Можно дать грубую оценку х_ш. При этом надо иметь в виду, что вклад в интеграл от интервала порядка времени корреляции г имеет порядок x(t)/tv (или x{t)r — для частоты, близкой к частоте x(t) ), а вклады от разных интервалов такой длины взаимно некогерентны (фаза колебания за время г полностью сбивается). Поэтому вклады от многих (~ 2£_т/т) интервалов складываются, как при случайных блужданиях: \х_ш\² ~

139

Обратное преобразование Фурье:

00 00

7Г

—оо

Связь спектра "шума" с корреляционной функцией называется теоремой Винера-Хинчина.⁶⁹

Для рассматривавшихся ранее случайной силы и случайной эдс (их иногда называют дельта-коррелированными) получаем

(f\ = 2аТ; (£% = 2RT.

Такой спектр (постоянный для всех частот), называют белым шумом. Последнее равенство называется формулой Найквиста.

Задача

Выразить энергию осциллятора с трением, возбуждаемого внешней случайной силой x(t) (см.уравнение (2)), спустя время t ^> I/7 после включения силы через корреляционную функцию силы. При каком усло­вии можно пренебречь собственным тепловым шумом осциллятора?