11.2 Корреляционная функция случайных сил

Движение в пространстве импульсов точки, изображающей импульс броуновской частицы, можно рассматривать как случайные блуждания, обусловленные как случайными изменениями импульса, вызванными флук-туациями, так и регулярными, которые являются результатом действия

133

силы трения. В стационарном режиме рост энергии за счет флуктуации компенсируется потерями на трение.

Будем представлять себе, что ось времени разбита на такие интервалы At, что случайные воздействия на броуновскую частицу в течение раз­ных интервалов можно считать независимыми, и не будем рассматривать более мелкие промежутки времени. При этом мы считаем, что At <С т, (то есть за время At скорость броуновской частицы изменяется мало). Изменение импульса броуновской частицы за время At складывается из двух частей

р -> р + (Ар) +

где

(Ар) = -avAt, (А_Рсл) = 0.

Учтем теперь, что в стационарном режиме среднее значение квадрата импульса не изменяется:

(Слагаемым ((Ар))² мы пренебрегаем в сравнении с (р)(Ар), линейные по Арсл слагаемые обращаются в ноль при усреднении). Отсюда получаем

((ApJ²) = -2(р)(Др) = 2a{vp)At = 2aTAt.

Тот факт, что квадрат переданного за время At импульса оказался про­порционален At, легко понять, когда речь идет о броуновской частице, движущейся в разреженном газе. В этом случае мы должны выбрать интервал времени At настолько большим, чтобы число N молекул, на­летевших за это время на частицу, было велико: N ~ na²V At ^> 1. Тогда флуктуация N, равная по порядку величины yN, как раз и оказывается ⁶⁴

Случайный прирост импульса частицы можно интерпретировать, как результат действия случайной силы, /_сл = Ap_CJ1/At. Величина этой силы оказывается ос (l/\/At), т.е. формально ее следовало бы считать бес­конечной при At —± 0. С одной стороны, как мы договорились, такой переход не предусмотрен, так что эта бесконечность нас не должна сму­щать. С другой стороны, равенство

⁶⁴Условия N 3> 1 и At С т определяют интервал, в котором может лежать величина At (l/a²nV) < At < (m/m_o)(l/a²nV).

134

вместе с условием (/ел (^i)/ел (£2)) = 0 при t\ ^ ^2 можно записать как

и, рассматриваяAt как бесконечно малую величину, представить это равенство в форме

Действительно,

если 0 б (tjjjz).

Теперь обсудим вопрос о случайных силах в жидкости или не слиш­ком разреженном газе. Наши оценки будут подчеркнуто грубыми. Флук­туации давления, как мы знаем, являются результатом наложения мно­жества нескоррелированных волн. На броуновскую частицу можно смот­реть как на "пробник", выделяющий из их числа такие, длина волны кото­рых близка к размеру частицы а. Только такие волны способны вызвать разность давлений на разных сторонах частицы, приводящую к измене­нию ее импульса. (Разумеется, это "пробник" гораздо менее избиратель­ный, чем рассеиваемый свет.) Тем не менее оценка числа волн в объеме V ~ а³ и с длиной волны ~ а, т.е. к ~ 1/а дает Vd?k/(2ir)^d ~ 1. Флуктуа­ции давления происходят с частотой и ~ v_s/a (v_s — скорость звука) и пе­редают импульс попеременно "вперед" и "назад", пока волна не затухнет.

В итоге частица получает импульс, Арсл ~ ДРа²/^, отвечающий одному периоду волны, за такое время, когда волна "забудет" о своем направле­нии, т_{затухания}. За время St > т_{затухания} в процессе случайных блужданий в пространстве импульсов происходит ~ St/T_3aTyx&HRSi "шагов" и квадрат импульса получает приращение (Арсл)² ~ (АРа²/о;)²££/т_{затухания}. Флук­туация давления оценивается как (АР)² = Грг?²/а³, а время затухания звуковой волны ⁶⁵ т_{затухания} ~ ра²/г], откуда и получаем

— оценка, соответствующая силе трения Стокса.

⁶⁵ Время затухания звуковой волны можно оценить как отношение ее энергии в единице объема ри² к потере энергии на трение в том же объеме 7j(Vu)²; Vu ~ и/А и в итоге т_{затухан}ия ~ P^²/v-Для частицы размера ~10 мкм в воде {т) и10~²г/с-см) получаем оценку т_затухания ~0,1мс.

135

Впрочем, этот же подход к оценке времени торможения броуновской частицы т приводит к условию St ~ т, что не совсем согласуется с пред­полагавшимся в начале раздела условием At <С т, так что здесь остается место для исследования, выходящего однако за пределы этого курса.

Покажем еще, как можно весьма кратко получить формальный ре­зультат этого раздела, не касаясь "анатомии" входящей в него S- функ­ции. Корреляционную функцию случайных сил легко выразить, исполь­зуя уравнения движения, через корреляционную функцию скоростей:

"*2) =

/ а² 1 а 1 a i \

= атТ

\t)t\()t₂ T'6t\

a

^o-v-x - t₂) = 2aTS(ti - t₂). ot\

Заметим, наконец, что в математике термин "теория броуновского движения" относится к случайному движению, для которого нижняя граница возможных значений At принята равной нулю. Функции v(t), и т.п. оказываются в этой теории ни в одной точке не дифференцируемы­ми (в определенном в этой теории смысле), а корреляционные функции совпадают с находимыми нами.

12 Зависимость флуктуации от времени