11.1 Корреляционная функция скоростей и диффузия

Для броуновской частицы (радиуса а) уравнение движения содержит силу трения, определяемую формулой Стокса ⁶¹ f = — av, a = бтпуа и добавку f, представляющую собой случайную силу, которая возникает за счет флуктуации давления внутри жидкости; для проекции на ось ж,

mv_x = - + f

(Далее индекс х для краткости опускается.)

Легко видеть, что величина т = ™ — характерное время торможения частицы. ⁶² Далее мы будем считать, что случайные составляющие силы, взятые в разные моменты времени, статистически независимы,

</(*l)/(*2)> = 0.

Это означает, между прочим, что мы признаем "разными" моменты, от­личающиеся друг от друга не менее, чем на некоторый интервал At. О выборе At для разных условий будет речь впоследствии, во всяком слу­чае At <С т.

Скорости броуновских частиц удовлетворяют распределению Макс­велла, поэтому

₂

(г? ) = 2 ^V ' 2

го ₂ T

(? )

⁶¹Если частица движется в разреженном газе, то коэффициент а ~ птоа²Ут, где п — концентра­ция молекул,то — масса молекулы, Vt — ее тепловая скорость, а — радиус броуновской частицы. Флуктуации давления связаны в этом случае с флуктуациями числа молекул, налетающих на ча­стицу в единицу времени с разных сторон.

Включение в уравнения движения броуновской частицы случайных сил связано с именем Лан-жевена.

⁶²Если скорость настолько велика, что случайной составляющей силы можно пренебречь, то по­лучаем

v = —, откуда v(t) = и(0)е~^?.

130

В стационарных условиях в среднем (v) =0. (Подразумевается усред­нение по множеству броуновских частиц⁶³.) Введем корреляционную функ­цию скоростей (v(ti)v(t₂)). В стационарных условиях эта функция зави­сит лишь от разности t\ — t₂. Обозначим ее

Если t\ = t₂, то получим просто средний квадрат скорости частицы

= I, (1)

если разность \t\ — t₂\ велика (по сравнению с г), то функция должна стремиться к нулю. Очевидно также, что

<p(-t) = <p(t). (2)

Чтобы найти эту функцию, домножим на v(t₂) уравнение движения, записанное для момента t\

ati т m

и произведем усреднение

<ЙГ^Ч ' г m

Далее рассмотрим случай, когда t\ > t₂, то есть скорость рассмат­ривается в момент до действия силы. Очевидно, на величину скорости в момент t₂ могут повлиять лишь значения силы до этого момента; по­скольку значения силы в разные моменты не скоррелированы, корреля­ции скорости со значениями силы после момента t₂ быть не должно:

</(*lM*2)>=0 При t_X>t₂.

Мы приходим к уравнению

*?(*) Ш ₌ о.

т

dt

⁶³ То есть перемножаем значения скорости одной и той же частицы, взятые в разные моменты времени, и находим среднее арифметическое таких произведений по многим частицам. Можно сле­дить и за одной лишь частицей, усредняя по многим интервалам времени, достаточно далеким друг от друга.

Более строго говоря, мы проводим усреднение, пользуясь априорными вероятностями: при иг­ре в "орла" и "решку" мы приняли бы, что вероятности их выпадения одинаковы, хотя ни один эксперимент этого непосредственно не покажет.

131

Его решение

<p(t) =

С учетом (1) и (2)

^Т -^ш = -е -

Таким образом, время корреляции скоростей имеет порядок времени тор­можения частицы т, что вполне естественно.

Ясно, что среднее значение смещения частицы за какое-то время рав­но нулю. Найдем средний квадрат смещения (x²(t)}. Будем считать, что х(0) = 0, так что

x(t) = /

о Тогда

t t t t

{x²(t)} = fdhf A₂(v(*iM*2)> = f dh j db₂<p{t\ ~ *2)

^j

0 0 0 0

Несложно вычислить этот интеграл, не делая никаких приближений, но более поучительным и полезным для дальнейшего будет другой путь. Область интегрирования — квадрат 0 < t\ < t, 0 < £2 < t, но факти­чески подынтегральная функция отлична от нуля лишь в узкой полосе, прилегающей к диагонали t\ = t<i и имеющей ширину порядка т. Перей­дя от интегрирования по ^2 к интегрированию по t' = t\ — £2, можем с хорошей точностью принять, что интегрирование по t' проводится в пре­делах —оо < t' < 00. (Это приближение будет слишком грубым лишь для t <т). Получаем

t 00

(x²(t)} = I dh I dt'<p(t') = t • 2—т. 0 -00

Итак, при t > т получаем {x²(t)} = 2^rt = 2Tat = 2Dt, где D -коэффициент диффузии.

Получим еще корреляционные функции скорости и ускорения

(h - t₂) = -(v

= signal -t₂)^e 'r² 777/

132

Корреляционная функция (v(ti)v(t2)} — нечетная функция t\ — t^.

Приведем еще иллюстрации, относящиеся к броуновскому движению осциллятора. Чтобы подчеркнуть случайный характер движения, пока­заны графики для пары осцилляторов, движущихся независимо друг от друга.

При малом трении в процессе движения медленно изменяются ампли­туда и фаза колебаний (левый график). При большом — движение мало похоже на колебания (правый график). В обоих случаях средняя энергия осциллятора одна и та же, она определяется температурой.

Сопоставляя рисунки 7 и 8, можно видеть, что корреляционная функ­ция определенным образом отвечает этим особенностям броуновского движения.

Рис. 18: Броуновское движение осциллятора. (Компьютерное моделирование).

Рис. 19: Корреляционные функции координаты осциллятора, рассчитанные для тех же условий.