10.5 Флуктуации параметра порядка

Мы будем рассматривать состояние вещества вблизи фазового пе­рехода второго рода. Будем рассматривать вещество, которое находится в некотором объеме V и может обмениваться частицами с термостатом - баростатом. Состояние тела описывается описывается параметром по­рядка 7у, а распределение вероятностей различных значений г/ —

W(ri) ос _e-<W,AV7)/T_

Согласно теории Ландау вблизи точки фазового перехода второго рода Q потенциал тела, как и термодинамический потенциал, представляется в виде

п = Уф(Т,ц,г]), где ф = atrj² + Brj⁴, t = Т - Т_к. (27)

Равновесное значение параметра порядка определяется условием ^ = 0, что дает

_ Г

0 при t > О,

a\t\/2B при t < 0. ^{{ }}

Распределение вероятностей флуктуации определяется согласно

( П\

W ос ехр I — — I ос ехр

(*?)^!

1 (д²п\

Здесь

(29)

■ (S) ^=У(Ш) =V(2at + 12B_Vl)~Va\t\. (30)

V / / по \ I / г)=щ

126

По мере приближения температуры к точке фазового перехода второго рода минимум О, потенциала как функции параметра порядка становится всё более пологим. Это должно было бы привести к росту величины флуктуации:

Согласно (1) рост флуктуации должен бы был ограничиваться слагае­мым, содержащим if. В действительности ограничение обусловлено тем, что вещество становится существенно неоднородным. Параметр поряд­ка можно считать функцией координат, а в О, потенциал должно быть включено слагаемое, зависящее от степени неоднородности вещества:

п(Т, Р, п) = J[<j>(T, /х, п) + g{Vri)²]dV. (32)

Характерные размеры R областей неоднородности ⁶⁰ определяют вели­чину добавочного слагаемого: g(V5rj)² ~ g{5rj/R)². Существенное влия­ние на распределение вероятностей это слагаемое будет оказывать при условии, что по порядку велины оно сравняется с отклонением других слагаемых в (6) от минимального значения ф(Т, fi, щ + 5г}) — ф(Тц, 770) ~ я|£|(#77)², ^чт0 приводит к оценке

(33)

Ниже точки перехода (t < 0) неоднородность вещества может быть связана с переходом от области, где г/ = щ, к области, где rj = —щ. В этом случае R дает оценку толщины области перехода, а величина а ~ g(r]Q/R)²R характеризует добавочную энергию, связанную с нали­чием границы между этими областями (в расчете на единицу площади границы). Иначе говоря, а — это коэффициент поверхностного натяже­ния. Оценка его

_a^{^'4ff'\} ₍₃₄₎

В

(Эксперименты в различных жидкостях дают близкую, но все-таки дру­гую зависимость: а ос |£|¹⁾³).

Возвращаясь к флуктуациям, мы должны представлять себе, что тело в любой момент разбивается на области размера ~ R, в пределах каждой из которых значения флуктуации параметра порядка Srj приблизительно

⁶⁰Размер R называют также радиусом корреляции флуктуации.

127

постоянны, в различных же областях значения 8rj независимы друг от друга. Оценку флуктуации параметра порядка получим, приняв в (5) в качестве объема такой области V

W ~ ^7^- (³⁵)

Таким образом, флуктуации все-таки убывают по мере приближения к точке фазового перехода (кстати, подобная оценка величины флук­туации справедлива как выше температуры перехода, так и ниже нее). Естественно принять в качестве условия применимости теории Ландау соотношение (5г/)² <С ?Уо, что дает

»

Т_к >>

Это условие (называемое критерием Гинзбурга - Леванюка) означает, что теория Ландау применима лишь в некотором отдалении от точки перехода. Согласно этому условию оказывается, что теория не имеет об­ласти применимости для перехода к сверхтекучему состоянию ⁴Не, при­менима практически в любой близости от точки перехода в сверхпро­водящее состояние; для ферро- и антиферромагнетиков, как правило, есть вполне доступная для эксперимента область неприменимости тео­рии Ландау \t\ > О.Щ.

ЗАДАЧИ

1. Оценить связанную с флуктуациями добавку к теплоемкости вбли­зи точки перехода.

Решение.

Добавку к Q, обусловленную флуктуациями 77,

согласно (4),(9) оцениваем как

АО

Получая далее добавки к энтропии и теплоемкости, дифференцируем только t, сохраняя тем самым лишь наибольшие слагаемые.

128

SC =

При более тщательном расчете получается еще коэффициент 1/16тг.

2. Полагая, что в области границы между областями с rj = ±770 па­раметр г] зависит лишь от одной координаты ж, и используя аналогию с задачами аналитической механики, найти 77 (ж) и а.

Решение.

Зависимость 77 (ж) определяется условием минимума функционала

00 г

— 00

что подобно принципу наименьшего действия с заменами 2S —t Q, t —>■ ж, m —>■ р, — U —± ф. Не выписывая "уравнений движения", сразу же запишем "интеграл энергии": д(г}'(х))² — ф = Е. Интересующему нас слу­чаю, когда rj —± ±7уо при ж —>■ ±оо, отвечает Е¹ = —ф{г}о). Таким образом,

= ф(п) ~ ФЫ-

Подставляя (1),(2), получаем

1/2

Из этого уравнения легко найти

Коэффициент поверхностного натяжения совпадает с "поверхностной" добавкой к потенциалу £1:

00

а = АП = I Ш(х))² + ф(г,) - фЫ\*х.

— 00

С учетом (*)

00

а = 2

- r?)dr, =

-00

129

11 Броуновское движение

Будем рассматривать броуновское движение, временно забыв о флук-туациях. Затем построенную теорию перенесем и на развитие флуктуа­ции со временем.