10.3 Рассеяние света

Пример явления, где флуктуации играют главную роль,— рассеяние света.

На объем, заполненный газом или жидкостью, падает свет. Выделим область, размеры которой много меньше длины волны света, ее объем V <С Л³. В переменном электрическом поле волны Е у этого элементар­ного объемчика возникает переменный дипольный момент:

d = V^—^E, d = -u²d. (1)

4тг ^v '

Излучение диполя

Однако происходит интерференция полей, излучаемых из разных объ-емчиков. При этом почти для каждого объемчика найдется такой, вклад которого окажется в противофазе.

АВ - С В = Л/2

Рис. 16: Если бы не флуктуации, то волны, излученные из объемов А и В в направ­лении АВ, гасили бы друг друга.

Поэтому рассеяния вообще не должно бы быть. (Точнее, мог бы быть лишь поверхностный эффект). На самом деле рассеяние есть, и проис­ходит оно за счет флуктуации диэлектрической проницаемости (а следо­вательно, и дипольных моментов, индуцируемых в разных объемчиках):

е = (е) + бе, 122

Итак, средняя величина (е) вклада в рассеяние не даст. Поэтому в (1) следует сделать замену

е — 1 5е

4тг 4тг'

Полная интенсивность излучения, идущего из данного объема:

2F(fe)V ₂ 3 с³ • 16тг² '

Пусть диэлектрическая проницаемость является функцией плотности р =

N тт

у и температуры. Примем, что зависимость е от температуры несуще­ственна.

%1

Вводим коэффициент сжимаемости: (3 = у (|^)_т ⁵⁹- Тогда интенсив­ность излучения из данного объема:

² (2)

Это верно для объема У < А³. Флуктуации в разных объемах таких размеров происходят независимо, для разных точек {be{v\)be{v2)) = О, поэтому складываются интенсивности излучений из разных малых объ­емов. Это означает, что формула (2) справедлива не только для малых объемов, а для любых. При прохождении слоя толщины dx плотность потока энергии S = ^Е² изменяется на dS = —hSdx. Отсюда S ос e~^hx. Величину h называют коэффициентом экстинкции. Этот вывод (для об­щего случая, когда диэлектрическая проницаемость зависит и от темпе­ратуры) был сделан Эйнштейном.

Ранее рассеяние света воздухом изучал Рэлей. Чтобы придти к полу­ченной им формуле, учтем, что для неплотного газа

е = 1 + 4тгра, где а — поляризуемость молекулы. Поэтому

59

Для твердого тела К = 1/'0 — модуль всестороннего сжатия.

123

де е — 1 п² — 1

dp р p

откуда

так как п² — 1 « 2(п — 1). Тогда

h =

2ш\п - I)² 37r(iV/F)c⁴ '

Для воздуха величина h ¹ имеет порядок нескольких километров, этим определяется синий цвет неба и красный — зари.

10.4 Дублет Мандельштама — Бриллюена

Флуктуации диэлектрической проницаемости в разных точках, неза­висимые друг от друга, могут быть представлены как наложение волн разной длины и частоты со случайными фазами. Эти волны — фононы, распространяющиеся со скоростью звука v_s. Они представляют собой флуктуации давления, (которые, напомним, могут происходить незави­симо от флуктуации энтропии). Флуктуации энтропии — это тепловые волны, которые, как известно, не бегут по веществу, а затухают на рас­стоянии порядка длины волны.

При рассеянии света можно выделять взаимодействие световой волны с определенной волной флуктуации. Оказывается, для этого достаточно выбрать определенный угол отклонения рассеянной волны 9. При этом прежде всего выделится направление фронта рассеивающей волны (по­добно тому, как при наблюдении лунной дорожки на воде мы выделя­ем фактически лишь определенные направления волн на воде); в обоих случаях должен выполняться закон зеркального отражения. Кроме то­го, разность хода волн, рассеянных соседними максимумами плотности, должна быть равна длине волны света. Это требование определяет и длину волны участвующего в рассеянии звука. Все это вполне аналогич­но рассеянию рентгеновских лучей кристаллами, только в нашем случае речь идет не об образующих кристаллическую решетку атомах, а о хао­тически возникающих и исчезающих уплотнениях. Поскольку они еще и бегут, возникает сдвиг частоты рассеянного света.

124

Полагая Е ос cos(kr — cut), a 5s ос cos(qr — Ш), получим, что

5е~Е ос cos (кг — cut) cos(qr — Ш)

ос cos((k + q)r - (си + Q)t) + cos((k - q)r - (си - Q)t).

Отсюда видно, что частота си' и волновой вектор к' рассеянного света удовлетворяют уравнениям

и/ = си ± Q, к' = к ± q,

которые можно интерпретировать как законы сохранения энергии и им­пульса при поглощении или испускании фотоном фонона.

Рис. 17: Изменение импульса фотона равно квазиимпульсу поглощенного фонона.

Волновой вектор фонона по порядку величины не превышает к, а ча­стота его О, = v_sq много меньше частоты света си = ск/п (п — показатель преломления). Поэтому к' « к и q = 2fcsin (9/2), так что сдвиг частоты рассеянного на таких флуктуациях света Q = 2ncu(v_s/c) sin (9/2) опреде­ляется углом рассеяния.

Рассеяние света на тепловых волнах, которые не обладают заметной скоростью, происходит без изменения частоты.

Таким образом, при рассеянии света помимо несмещенной по часто­те линии появляется еще пара линий со слегка измененными частота­ми, называемая дублетом Мандельштама - Бриллюена. Соотношение их интенсивностей определяется соотношением флуктуации давления и эн­тропии. Амплитуда и фаза звуковой волны с данными значениями q и О, в веществе флуктуируют. Время убывания (и нарастания) амплитуды характеризуется коэффициентом затухания звука. Соотношение Q = v_sq выполняется лишь с точностью до этого коэффициента. Он и определяет ширину линий дублета.

125

В твердом теле, где возможны звуковые и световые волны с разными поляризациями и скоростями, количество смещенных линий может быть гораздо больше.

Все это хорошо наблюдается на опыте.

Задача.

Предположим, что диэлектрическая проницаемость жидкости или га­за зависит от плотности вещества и не зависит от температуры. Найти отношение интенсивности дублета Мандельштама - Бриллюена к полной интенсивности рассеянной волны.

Ответ.

(1_ш+п + 1_ш-п)/1 = су /ср. (Формула Ландау и Плачека).