10.2 Флуктуации числа частиц

Изменим исходную постановку задачи.

Пусть объем фиксирован, а число частиц в нем может изменяться. Тогда вероятность состояния вещества в этом объеме выражается как

Флуктуации различных величин, включая число частиц в данном объ­еме, можно получить, проделав для новых переменных выкладки, по­добные проделанным в предыдущем разделе. А можно и иначе, уста­новив связь между двумя постановками задачи (при V = const и при N = const). Учтем, что в обеих задачах речь идет не о физическом вме­шательстве в устройство и движение системы, а только о разных спо­собах подсчета. Поэтому в обеих постановках флуктуации концентрации должны быть просто одни и те же. Рассмотрим флуктуации концентра­ции:

при V = const и флуктуациях N имеем А(у) =

119

при N = const и флуктуациях V имеем NAy = — ^N_VY • Значит,

откуда

² ^ (|^) , (Длгдт)> = о.

Преобразуем это выражение, перейдя к переменным /j,,V,T. fdV\ ₌ д(У, Т, N) ₌ д(У, Т, N) д(У, Т, ц)

\dP)_TN д(р,т,м) у

первый якобиан равен ^

Для вычисления второго вспомним равенство

из которого следует

=0

\dN)_PT ' \dP)_NT в

(AN)² = Т |

К этому результату можно просто придти и непосредственно от большого канонического распределения, причем уже без ограничения квазистати­ческими флуктуациями.

Найдем флуктуации числа частиц в k-том квантовом состоянии Ферми-газа; среднее число частиц:

1

= _е(е_к-»)/Т

Легко получаем

то есть произведение числа частиц на число дырок. В окрестности гра­ничной энергии (при низких температурах) это произведение может до-

стигать величины ^.

120

Если рассмотреть Бозе-газ, то получим

где

Для света первое слагаемое соответствует корпускулярной картине, а второе — волновой.

<(ДЛУ²) = (N_k) + (N_k)².

Задача.

Выразить относительную величину флуктуации интенсивности днев­ного света, рассматривая электромагнитное поле как классическое.

Решение.

Мгновенное значение электрического поля световой волны складыва­ется из полей, излученных множеством атомов:

Каждое из слагаемых Е_а изменяется с частотой ~ 10¹⁵с, а за время, не большее 10~⁷с полностью изменяет направление и фазу, причем неза­висимо от других (мы рассматриваем неполяризованный свет). Интен­сивность света определяется величиной Е², усредненной за период. Для мгновенного значения поля

_{= Е} ^Е_{" + Е} ^E_«

^{C0S 9}<* =

где L — число слагаемых, (Е%) — средний (по разным атомам) квадрат поля излучения одного атома, а направления поляризаций излучений разных атомов независимы: (cos 9_аь) = 0. Для определения флуктуации интенсивности нам понадобится величина

К + Е ^Е«^Е*^cos °«ъ) (Е ^Ес + Е ^Е*^Е*^cos

афЪ с

= Е ^Е* + Е ^Еа^Ес + Е ^Е*^ЕЪ^Е1 ^C0S °ab + Е ^Е*^Е*^Е1 ^C0S а афс афЬфс

афЪфсфй афЪ

121

Первая сумма в правой части содержит L слагаемых, вторая — много больше: L(L — 1) « L². Третья, четвертая и пятая суммы обращаются в нуль из-за сомножителей вида cosO_ab, Последняя, в которую выделены слагаемые с с = a, d = Ь и с = 6, d = а, оказывается равна второй (т.к. <cos²0_a6) = 1/2). В итоге <(Е²)²) = 2L²<£²)², и

А/V ((Е²)²) - (Е²)² / - (Е²>