9.6 Критические индексы

Вблизи точки фазового перехода второго рода некоторые величины (подобно х(Т) в теории Ландау) имеют особенности при Т —> Т_к. Эти особенности принято представлять в виде степенных зависимостей от т= (Т- Т_к)/Т_к, например,

С ос \т\~^а, ц ос (-т/, х <* И"⁷. (22)

Показатели а, (3, у называют критическими индексами. (Определены ещё несколько критических индексов, но мы ограничимся тремя). Критиче­ские индексы определяются по экспериментальным данным.

Основываясь на представлении о масштабной инвариантности (опи­санном в конце раздела 9.4), можно установить определенные соотноше­ния между критическими индексами.

Аномальные размерности левых и правых частей равенств

_foLfe0 ^(2з)

должны быть одинаковы:

А_х = 2Д,, - 2Д_Ф, А_с = 2А_Ф - 2Д_Г (24)

(Аномальную размерность множителя Т « Т_к следует считать равной нулю). Учитывая, что согласно (22)

= -аА_т, A_v = f3A_T, А_х = -₇Д_Т, (25)

116

получаем

а + 2(3 + 7 = 2. (26)

Используя термодинамические соотношения (без соображений о мас­штабной инвариантности) удается получить только неравенство: а+2(3+ 7 > 2-

10 Флуктуации

10.1 Квазистационарные флуктуации

Пусть тело находится в термостате - баростате и может обмениваться с ним энергией как путем теплообмена, так и совершая работу. Введем в рассмотрение два масштаба времени: Ati — обмен энергии тело — тер­мостат, А^2 — релаксация в теле. Мы будем рассматривать случай, когда время релаксации мало по сравнению со временем обмена между телом и термостатом: А^2 <С Ati . В этом случае имеет смысл говорить о со­стояниях тела, когда оно не находится в равновесии с термостатом, но само по себе может иметь определенные значения термодинамических величин. При этом говорят о квазистационарных флуктуациях (иногда их называют термодинамическими).

Вероятность состояния тела с определенными значениями Е и V уже была выписана раньше:

_w ^ _eS(E,v)-(E+P_ov)/T_o_

Эта формула принципиально решает задачу, и далее мы будем просто подробнее исследовать флуктуации, учитывая, что они оказываются ма­лыми.

Представим E,V,S и другие термодинамические переменные тела в виде Е = {Е)+АЕ; V = {V)+AV и т.п., где {Е), (V),... — равновесные значения. В показателе экспоненты в выражении для W имеем

T₀AS -АЕ- P₀AV.

(слагаемые, не зависящие от АЕ, AS, AV, отнесены к коэффициенту про­порциональности). Это выражение разложим по малым отклонениям от равновесных значений.

Из числа AS, АЕ и AV выберем в качестве независимых AS и AV, так что разлагать нужно только AE((S) + AS, (V) + AV). Член первого

117

порядка

вследствие условий Г = Го, Р = Pq сокращается с линейными по AS и AV слагаемыми, так что остается только член второго порядка:

2V OS Поскольку

и

получаем

(APAV ATAS\ W ос ехр ^ — j . (1)

Эта формула — удобная заготовка. Независимыми являются только два параметра. Выберем в качестве них ДГ и AV и выразим через них AS и АР :

() мечая, что |f = у ' ^{а также} Ш ⁼ Ш (^{чт0 ВИ}Д^{НО из} равенства dF =

Домножим первое уравнение на ДГ, второе — на (—AV) и сложим, за­мечая, что |f -SdT-PdV):

AS AT - APAV = —(AT)² - (^) (AV)².

1 V^^

(Напомним, что для устойчивости системы по отношению к расслоению на разные фазы величина (§у)_т должна быть отрицательна.) Это поз-

воляет нам написать ⁵⁸

Г² /Ж/\

((ДГ)²> = —, <(AV)²> = -r^J , (ДТДУ) = 0. (2)

⁵⁸ Нормированное выражение

Ш - _J__e-x²/2a²-y²/2b²

~ 2паЪ

при этом (ж²) = / x²Wdxdy = а², (у²) = Ь², (жу) = 0.

— оо

118

Отметим, что речь идет о флуктуациях, усредненных за время, большое по сравнению с А^2, величина же средних квадратичных отклонений усредняется за время, много большее Ati.

Для расчета флуктуации какой-либо величины можно воспользовать­ся полученным результатом и разложением:

После возведения в квадрат, усреднения и подстановки (2) получаем ре­зультат. В частности, таким путем можно получить

{(AS)²) = C_P, <(ДР)²> = -Г (|£) (Д5ДР>=0.

(а проще получить эти же результаты из формулы (1)).

Каковы флуктуации по порядку величины? Для температуры: АТ/Т ^ 1/y/N, для объема: AV/V ~ 1/y/N. С увеличением числа частиц абсо­лютная величина флуктуации объема растет, а температуры — умень­шается.

Вспомним, что (|г) = v² - квадрат скорости звука. Учитывая, что

р ос V-¹, получим Ар/р = -AV/V, {(АР)²) = Tpv²jV.