1.2 Микроканоническое распределение

Мы примем далее, что для замкнутой системы все микросостоя­ния с заданной энергией равновероятны⁴. Это утверждение можно рас-

²Речь идет все время о системах, которые поддерживаются в заданных условиях достаточно дол­го и успели придти к равновесному состоянию. При этом, естественно, подразумевается, что системы ограничены в пространстве, так что энергетический спектр дискретный. В случае применимости классической механики подсчет числа состояний производится с использованием квазиклассическо­го приближения.

³ Состояние такой системы описывается матрицей плотности. Знакомство с матрицей плотности мы отложим до последнего раздела курса, где ее применение станет необходимо.

⁴Такой подход придумал Л. Больцман.

9

сматривать как основной постулат статистической физики. Его можно обосновывать теоретически (в исключительных случаях это удается), а можно проверять, сравнивая с экспериментом более или менее отдален­ные следствия этого утверждения. Эксперимент подтверждает его. Такое распределение вероятностей состояний называют микроканоническим ⁵.

Замечательно, что этот постулат оказывается часто справедлив и для систем с малым числом частиц (например, для компьютерного газа, со­стоящего из нескольких шаров). Разумеется, при этом речь может идти только об усредненном за значительное время распределении.

Можно записать микроканоническое распределение для замкнутой системы таким образом:

₌ Г 1/Г при E_k e{E,E + АЕ) ~\ 0 при Е_к g{E,E + АЕ)

— вероятность того, что система находится в любом из микросостояний с энергией Е_к, лежащей в интервале от Е до Е + АЕ, равна 1/Г:

Если выбрать АЕ порядка энергии молекулы, то этого более чем до­статочно для наших целей, ибо макроскопическую систему, энергия ко­торой зафиксирована и с худшей относительной точностью, чем 1/N, где N — число молекул, можно считать замкнутой.

Если принять, что точность, с которой определяется энергия микросо­стояния, не выше, чем АЕ, то это же распределение вероятностей можно переписать так:

w(E,k) = A5{E-E_k),

(здесь А -нормировочная постоянная).

Если система классическая, то согласно микроканоническому распре­делению вероятность dw того, что система окажется в определенной об­ласти фазового пространства dpdq, равна

dw = A'S(H(q,p) — E)dpdq, где dpdq = dp\...dp_sdq\...dq_s,

где s - число степеней свободы, H(q,p) - гамильтониан системы. (Ве-роятноссть реализации одного квантового состояния умножена на число квантовых состояний в указанной области фазового пространства, кото­рое согласно квазиклассическому приближению равно dpdq/(2,7rh)^s). Обычно число состояний очень быстро растет с энергией.

^БИногда речь должна идти о состояниях не только с заданной энергией, но, например, и с задан­ным моментом импульса, — если рассматривается система, для которой момент импульса заведомо является интегралом движения, скажем, газ внутри гладкой сферы.

10

Рассмотрим пример — идеальный газ, содержащий N частиц. В про­странстве импульсов pi_x, piy, ...,pnz точки с заданной энергией Е = ^ р²/2т лежат на сфере радиуса у2гпЕ. Число состояний определяется площа­дью сферы. ⁶ Поэтому Г ос Е^ *.

Время установления равновесия (называемое временем релаксации) обычно довольно велико. Система может находиться в неполном равно­весии (при котором, скажем, температуры разных ее частей различны). Такая возможность обеспечивается тем, что время релаксации к такому частичному равновесию гораздо меньше. Частичное равновесие системы можно характеризовать значениями каких-то параметров х.

Важно подчеркнуть, что различие в величине статистических весов для состояний, близких к равновесию и далеких от него, настолько ве­лико, что фактически процесс установления равновесия (который можно описывать как изменение параметров х) идет почти все время в сторону возрастания величины Т{х). В конце концов реализуется наиболее веро­ятное состояние ⁷.

Задачи⁸

1. Найти сумму энергий идеального газа под поршнем в стоящем вер­ тикально цилиндре и потенциальной энергии поршня.

Найти теплоемкость столба атмосферы.

2. Из сосуда откачан воздух. Приоткрыв на короткое время кран, со­ суд заполняют атмосферным воздухом. Какой будет температура вошедшего в сосуд воздуха, если теплообмен со стенками сосуда не успевает произойти. Каким будет давление воздуха в сосуде, когда температура его за счет теплообмена сравняется с температурой ат­ мосферного воздуха?

3. Сравнить теплоемкость шарика, лежащего на столе, с теплоемко­ стью такого же шарика, подвешенного за верхнюю точку.

⁶ Точнее, для определения числа состояний нужно в качестве объема в импульсном пространстве взять объем сферического слоя малой толщины ос АЕ. Далее (в конце раздела 5.1) мы еще вернемся к определению Г и покажем, что зависимость от АЕ фактически отсутствует, а Г = AE~^~V^N. Впрочем, еще раньше мы увидим, что это уточнение при больших N несущественно.

⁷Все-таки малые отклонения от самого вероятного состояния возможны. Теория таких отклоне­ний (флуктуации) будет рассматриваться позже.

⁸Здесь, в порядке исключения, приведены задачи, не относящиеся непосредственно к теме лек­ции, но полезные для "восстановления формы", т.к. кое-что из курса молекулярной физики нужно вспомнить.

11

4. Конденсатор емкости С заполнен диэлектиком, диэлектрическая про­ ницаемость которого зависит от температуры: в(Т). Один раз кон­ денсатор присоединен к источнику напряжения U, а другой раз — заряжен и отключен от источника. Найти разность значений тепло­ емкости конденсатора в этих двух случаях, cq — cjj.

5. Найти диэлектрическую проницаемость газа свободных диполей в пределе высоких температур.

Конденсатор заполнен диэлектриком, для которого е = 1 + А/Т. Найти энергию конденсатора, заряженного до напряжения U.

6. Тонкая диэлектрическая пластинка находится в большом плоском конденсаторе. Конденсатор медленно заряжают, так что в нём воз­ никает электрическое поле S. На сколько изменится температура пластинки, если считать её теплоизолированной? Диэлектрическая проницаемость пластинки равна s(T), теплоёмкость в расчёте на единицу объёма — С. Изменение температуры можно считать ма­ лым.

Рассмотреть случаи, когда пластинка расположена параллельно пла­стинам и перпендикулярно им.

7. Диэлектрический шар находится в большом плоском конденсато­ ре. Конденсатор медленно заряжают, так что в нём возникает элек­ трическое поле S. На сколько изменится температура шара, если считать его теплоизолированным? Диэлектрическая проницаемость шара равна s(T), теплоёмкость в расчёте на единицу объёма — С. Изменение температуры можно считать малым.

8. Найти форму энергетического спектра электронов при /3-распаде атомного ядра (^ZA -^²⁺¹А-\-е-\-р), считая, что все квантовые состо­ яния системы электрон+антинейтрино при заданной их суммарной энергии [e_e-\-£_v = Е) равновероятны⁹. Энергией отдачи ядра можно пренебречь.

Как изменился бы жесткий край спектра (при е_е ~ Е), если бы масса нейтрино не была равна нулю?

⁹ Это предположение справедливо с высокой степенью точности. Разумеется, причина этого не в упоминавшемся выше "перемешивании", а в особенностях /3-распада. Эта задача приведена здесь как пример эффективного использования важного для нас представления о статистическом весе.

12